Cours maths 1ère S

Fonction dérivée

Fonction dérivée

Définition de la fonction dérivée

Soit un intervalle de et soit f une fonction définie sur .
On dit que la fonction f est dérivable sur si elle est dérivable en tout nombre réel de .

Dans ce cas, la fonction qui à tout associe le nombre dérivé de f en s’appelle la fonction dérivée de f.

On la note :

Exemple

Soit f la fonction définie sur par :
Soit On a :

Lorsque h tend vers 0, tend vers donc

La fonction f est donc dérivable en , pour tout
et on a :

La fonction

est la fonction dérivée de la fonction f.

 

Dérivée des fonctions usuelles

 

Dérivée seconde

Remarque

Remarque: Soit f une fonction dérivable sur un intervalle et soit sa dérivée.
Si la fonction est elle-même dérivable, on note ou
sa dérivée et on l’appelle dérivée seconde de .

Exemple

Soit f la fonction définie sur par
Nous avons vu tout à l’heure que f est dérivable sur et que, pour tout nombre réel , on a

La fonction est elle-même dérivable sur .
En effet, pour tout , on a :

 

Opérations sur les fonctions

Nous allons voir maintenant quelques propriétés qui permettent de calculer la dérivée d’une fonction à partir des dérivées des fonctions usuelles.

 

Somme de fonctions

Propriété

Soient n et v deux fonctions dérivables sur un intervalle . Alors la fonction est dérivable sur et ,
C’est-à-dire pour tout

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie sur [0, [ par .
On a pour tout [0, [

où et

La fonction u est dérivable sur et la fonction v est dérivable sur ]0, [ donc la fonction f est dérivable sur ]0, [ et

 

Produit d’une fonction par un nombre réel

Propriété

Soit une fonction dérivable sur un intervalle et soit un nombre réel. Alors la fonction est dérivable sur et c’est-à-dire pour tout

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie par on a pour tout où

La fonction u est dérivable sur et pour tout La fonction f est donc dérivable sur et pour tout

 

Applications aux fonctions polynômes

Propriété

Toute fonction polynôme est dérivable sur

Exemple

Soit P la fonction polynôme définie par :
On pour tout ,

Où

Les fonctions u, v, t et w sont dérivables sur et on a, pour tout

On en déduit que la fonction polynôme P est dérivable sur

et pour tout

 

Produit de deux fonctions

Propriété

Soit et deux fonctions dérivables sur un intervalle alors la fonction est dérivable sur et c’est-à-dire pour tout

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie par on a, pour tout
et

La fonction f est dérivable sur et pour tout

 

Inverse d'une fonction

Propriété

Soit une fonction dérivable sur un intervalle alors la fonction est dérivable sur et, pour tout , on a

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie par

La fonction f est définie sur

c’est-à-dire sur

Posons la fonction u est définie et dérivable sur , elle s’annule pour

Donc la fonction f est dérivable sur et on a pour tout , et

 

Quotient de deux fonctions

Propriété

Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle . On suppose que pour tout , alors la fonction est dérivable sur

et

Démonstration

Exemple

Soit f la fonction définie sur par

Posons

où et

les fonctions u et v sont des fonctions polynômes dérivables sur et on a

et

Comme pour tout ,

la fonction f est dérivable sur et on a:

 

Dérivée d’une composée de la forme

Propriété

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle et soient a et b deux nombres réels. Alors la fonction f définie par est dérivable en tout nombre réel tel que et on a

Exemple

Soit f la fonction définie par

On a, pour tout

où

La fonction u est dérivable sur et on a

On en déduit que la fonction f est dérivable sur et