Cours maths 1ère S

Applications du produit scalaire

Applications du produit scalaire

 

Applications du produit scalaire

Le produit scalaire a de multiples applications.

En physique, par exemple, il est utilisé pour modéliser le travail d’une force.

Dans ce module nous allons voir quelques unes de ses applications, en particulier aux relations métriques dans le triangle, aux équations de droites et de cercles.

 

Applications aux problèmes métriques

La première de ces applications est liée à la médiane d’un triangle.

Le théorème de la médiane ou théorème d’Apollonius est dû à Apollonius de Perge, mathématicien grec ( 262 avant JC – 190 avant JC).

 

Applications aux problèmes métriques

Définition

Soient A et B deux points du plan et I le milieu du segment [AB].

Alors, pour tout M du plan, on a

Remarque

Cette formule nous permet de calculer les longueurs des trois médianes d’un triangle ABC connaissant les longueurs de ses trois côtés.

Démonstration du théorème de la médiane

Pour tout M du plan, on a

et

d'où

Or est le milieu du segment [AB] d’où

et

d'où

on a donc

 

Formule d’Al-Kashi

Nous allons maintenant voir une autre application importante du produit scalaire : la formule d’Al-Kashi.

Cette formule est aussi parfois appelée « formule des cosinus » ou « théorème de Pythagore généralisé ».

Cette formule est due au mathématicien perse Al-Kashi (né vers 1390 à Kashan en Iran et mort en 1429 à Samarcande en Ouzbékistan).

Son véritable nom était Ghiyath al’Din Jamshid Mas’ud al’Kashi.

Les « Eléments » d’Euclide datant du siècle avant Jésus-Christ contenaient une approche purement géométrique de la généralisation du théorème de Pythagore, basée sur des raisonnements en termes de différences d’aires.

Il a fallu attendre l’apparition de la trigonométrie Arabo-musulmane au Moyen-âge et les travaux d’Al-Kashi, mathématicien de l’école de Samarcande, pour obtenir la formule qui porte aujourd’hui son nom.

Notations

Avant d’énoncer la formule d’Al-Kashi, adoptons les notations allégées suivantes (notations usuelles) :

Dans un triangle ABC, on note

a = BC

b = AC

c = AB

Théorème

Pour tout triangle ABC, on a

Remarques

1) Les trois côtés et les trois angles d’un triangle jouant des rôles similaires, on a aussi :

2) La formule d’Al-Kashi permet dans bien des cas de résoudre un triangle.

Résoudre un triangle, c’est déterminer ses trois côtés et ses trois angles.

La formule d’Al-Kashi permet, par exemple, de calculer un côté d’un triangle lorsque l’on connait l’angle opposé et les deux autres côtés.

Démonstration de la formule d’Al-Kashi

On a

Or

D'où

 

Application aux équations de droites

Rappel

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, , ).

Equation cartésienne d’une droite

Toute droite du plan admet une équation de la forme

Réciproquement, toute équation de la forme

avec a et b non simultanément nuls est une équation de droite.
Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite.

Remarque

Il n’y a pas unicité de l’équation cartésienne d’une droite.

La droite D d’équation

admet aussi comme équation cartésienne

ou

ou plus généralement

où est un nombre réel non nul.

 

Droite définie par un point et un vecteur

Soit D une droite passant par un point A de coordonnées

et de vecteur directeur de coordonnées (a, b).

Soit M un point quelconque du plan, de coordonnées (x, y).

On a

les vecteurs et sont colinéaires

le tableau est un tableau de proportionnalité.

 ;

Droite définie par un point et un vecteur

On a donc le résultat suivant :

Théorème

Soient a et b deux nombres réels non tous les deux nuls.
Dans un repère quelconque,

- Toute droite de vecteur directeur admet pour équation cartésienne:

- Réciproquement, l’ensemble des points M(x , y) vérifiant est une droite dont un vecteur directeur est

 

Vecteur normal à une droite

Définition

On appelle vecteur normal à une droite tout vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite.

Le vecteur est un vecteur normal à la droite D.

On a

Théorème

Soient a et b deux nombres réels tels que

Toute droite de vecteur normal admet une équation de la forme

Toute équation de la forme est celle d’une droite de

vecteur normal et de vecteur directeur

Démonstration

Soit un vecteur normal à une droite D et soit un point de D.

Un point appartient à la droite D si et seulement si , c’est-à-dire

Or

où

Si a et b sont deux nombres réels tels que , alors l’ensemble E des points tels que est non vide.

En effet, il contient au moins un point A :

- le point si

obtenu en posant dans l’équation, d’où et

- ou le point si

Si , alors . L’équation s’écrit d’où

Comme le point A appartient à l’ensemble E, on a

On en déduit

ce qui peut s’écrire

c’est-à-dire

L’ensemble E cherché est donc la droite passant par A et de vecteur normal

Exemple

Soient A(2,1), B(1,4) et C(5,2) trois points du plan et D la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Un point appartient à la hauteur D si et seulement si .

Calculons les coordonnées des vecteurs et on a et

On a donc

La hauteur D a donc pour équation cartésienne

 

Application aux équations de cercle

Rappel

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, , ).

Le cercle de centre de rayon r, est l’ensemble des points M du plan tels que

Propriété

Soit le cercle de centre et de rayon r.

Un point appartient au cercle si et

seulement si

L’équation est une équation du cercle .

Démonstration

Un point appartient au cercle si et seulement si on a , c’est-à-dire

ce qui s’écrit

car le vecteur a pour coordonnées

Exemples

• Le cercle trigonométrique a pour équation

• Le cercle de centre et de rayon 2 à pour équation

Théorème

Soient A et B deux points du plan.

Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que

Démonstration

Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si
M = A ou M = B ou le triangle AMB est rectangle en M.

Or le triangle AMB est rectangle en M si c’est-à-dire si .

De plus M = A s’écrit et M = B s’écrit . On a donc