Cours maths 4ème

La démonstration en mathématiques

Ce cours est destiné à faire le point pour l’élève sur ses conceptions au niveau de la démonstration. Ce cours fait un point sur les théorèmes, les propriétés et les définitions abordés en 4ème.

 

Rappel sur la démonstration en mathématiques

Qu’est-ce qu’une démonstration mathématique ?

Nous pouvons dire qu’une démonstration (ou preuve) mathématique est un raisonnement logique qui utilise des résultats théoriques (propriétés, théorèmes, formules, …) déjà établis pour parvenir pas à pas à une conclusion que personne ne pourra contester.

Exemple:

I)  Que peut-on dire de ce dessin à main levée ?
Ce dessin représente un triangle ABC. Le codage nous montre que I est le milieu du côté [AC] et que J est le milieu du côté [AB].

II)  Ces observations font appel à quelle propriété ?
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux de ses côtés, alors cette droite est parallèle à son troisième côté.

III)  Que peut-on conclure ?
On peut conclure que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles.

 

Méthode de démonstration en mathématiques :

Pour chercher une démonstration, il faut partir des données de l’énoncé et essayer d’en déduire, grâce à des propriétés, des conclusions.

Exemple:

Soit un cercle de centre A. Soient [MU] un de ses diamètres et O un point appartenant à ce cercle, distinct de M et de U. Que peut-on dire du triangle MOU ? Justifier.

Le triangle MOU est inscrit dans le cercle de diamètre [MU].

Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l’un de ses côtés est un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle.

Conclusion : On peut affirmer que le triangle MOU est rectangle.

Remarques

1) Dans la première étape, il est important de bien identifier la situation en se posant les questions suivantes :
   a) Avec quelle(s) figure(s) je travaille ?
   b) Y a-t-il des objets géométriques importants (droites, points, segments, …) ?
   c) Quelles sont les données qui pourront être utiles ?

2) Comme nous l’avons vu précédemment, la deuxième étape doit faire le lien entre les données utiles et la conclusion. Il faut la formuler de façon très rigoureuse avec des termes précis; par exemple : « si … alors … » , « … revient à dire que … » , « … si et seulement si … ».

Lorsqu’il s’agit de faire appel à des théorèmes connus, on pourra seulement mentionner leurs noms (sans faire de faute d’orthographe !). Par exemple : « D’après le théorème de Pythagore … », « Le théorème de Thalès nous permet d’écrire … » , …

3) Dans une démonstration, il n’est pas recommandé de dire « je vois sur la figure que… » ou bien « j’ai vérifié avec mon compas que … » car ce vocabulaire est du domaine de l’observation. On utilisera plutôt des termes du type : « on sait que » , « car » , « puisque » , « or » , « comme » .