Cours maths 4ème

Développement d'une expression littérale

Ce cours a pour objectif d’apprendre à développer des expressions littérales de la forme k(a+b) ou encore (a+b)(c+d). A noter que le cours utilise une approche géométrique classique pour permettre à l’élève de donner du sens au développement des expressions littérales et que les activités de développement proposées dans ce module visent à prolonger celles qui ont été pratiquées en 5ème.

 

Définition d'une expression littérale

Une expression littérale est une expression où des lettres interviennent x, y, a, b, t, m, …
Chacune de ces lettres désignant un nombre dont on ne connaît pas la valeur.

Exemples d'expressions littérales :

 

Développement d'une expression littérale

Effectuer le développement d'une expression littérale c’est transformer un produit en une somme algébrique.

Exemples de produits et de sommes algébriques :

Les expressions entourées de bleu sont écrites sous la forme d’un produit. Les expressions entourées de mauve sont écrites sous la forme d’une somme algébrique.

Réfléchissons …

Madame Folledemath propose le rectangle ABCD suivant :

Les données en centimètres sont les suivantes :
AE = a ; EB = b ; AD = k ;

On peut calculer l’aire de ce rectangle de deux manières différentes.

On calcule directement l’aire du grand rectangle :

Aire(ABCD) = AD x AB
Aire(ABCD) = k x (a + b)
Aire (ABCD) = k(a + b)
On additionne les aires des deux petits rectangles :

Aire(ABCD) = Aire(AEFD) + Aire(EBCF)
Aire(ABCD) = k x a + k x b
Aire (ABCD) = ka + k

 

Le développement simple

Exemples

Soit l’expression littérale suivante : A = 5(t + 6).
Développons l’expression littérale A :

Faisons de même avec B = 2,5(8y – 3).

Remarque:

Certaines étapes de calcul peuvent s’effectuer mentalement en suivant les règles de calcul avec les nombres relatifs.

Réfléchissons encore …

Monsieur Mathenfolie propose le rectangle ABCD suivant :

Les données en centimètres sont les suivantes :
IM = a ; MJ = b ; IP = c ; PL = d ;

On peut calculer l’aire de ce rectangle de deux manières différentes.

On calcule directement l’aire du grand rectangle :
Aire(IJKL) = IJ x IL
Aire(IJKL) = (a +b) x (c + d)
Aire (IJKL) = (a + b)(c + d)
On additionne les aires des 4 petits rectangles :
Aire(IJKL) = Aire(IMAP) + Aire(MJNA) + Aire(PAOL) + Aire(ANKO)
Aire(IJKL) = a x c + a x d + b x c + b x d Aire (IJKL) = ac + ad + bc + bd

 

Le développement double

Exemples:

Soit l’expression littérale suivante : C = (t + 2)(t + 9).
Développons l’expression littérale C :

Faisons de même avec D = (5a + 1)(2a – 3).

Remarque:

Certaines étapes de calcul peuvent s’effectuer mentalement en suivant les règles de calcul avec les nombres relatifs.

 

Les signes + et - devant une parenthèse

1) On peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe « + » et non suivies d’un signe multiplié « x » ou divisé « / » sans changer l’expression à l’intérieur.

2) On peut supprimer des parenthèses précédées d’un signe « - » et non suivies d’un signe multiplié « x » ou divisé « / » à condition de changer tous les signes qui se trouvent à l’intérieur.

Exemples:

3 + (4y + 8m)= 3 + 4y + 8m

25b + (3b + 16) = 25b + 3b + 16 = 28b + 16

12 – (5d + 8m) = 12 – 5d – 8m

30 – ( –12 + 9u) = 30 +12 –9u = 42 –9u

(5s + 7) – (10s – 2) = 5s + 7 – 10s + 2 = 5s – 10s + 2 + 7 = – 5s + 9