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Cours maths 6ème
Division décimale
Ce cours aborde la technique opératoire qui permet d’effectuer la division décimale d’un nombre entier par un autre, puis celle d’un nombre décimal par un nombre entier. Ce cours montre aussi comment diviser un nombre par 10, 100 ou 1 000, puis aborde la notion d’ordre de grandeur d’un quotient.
Division décimale
Définition : Le quotient d’un nombre décimal a par un nombre entier non nul b est le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trou :
Définition : Effectuer la division décimale du nombre a par le nombre b, c’est calculer la valeur exacte ou une valeur approchée de ce quotient.
Rappel : vocabulaire
Dans la division euclidienne de 45 par 6,
45 est le dividende
6 est le diviseur
3 est le reste
7 est le quotient
Poser une division : technique opératoire
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Effectuons la division de 423 par 18.
On prend les chiffres du dividende un à un à partir de la gauche jusqu’à obtenir un nombre supérieur au diviseur.
Ici on prend donc 42.
Puis on cherche les multiples de 18 :
18 x 2 = 36
18 x 3 = 54
42 est compris entre 36 et 54 donc on écrit 2 au quotient et on soustrait 36 à 42.
Ensuite, on abaisse le 3 et on recommence.
On cherche les multiples de 18 :
18 x 2 = 36
18 x 3 = 54
63 est compris entre 54 et 72 donc on écrit 3 au quotient et on soustrait 54 à 63.
On obtient la division euclidienne de 423 par 18 :
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Si l’on veut effectuer la division décimale de 423 par 18, on poursuit le calcul.
Pour poursuivre le calcul, on « abaisse un zéro » et on ajoute une virgule au quotient.
18 x 5 = 90
On écrit 5 au quotient et on soustrait 90 à 90.
Dans ce cas la division s’arrête.
On obtient la valeur exacte du quotient de 423 par 18.
423 ÷ 18 = 23,5
Remarque :
Quelques fois la division ne s’arrête pas.
On obtient alors seulement une valeur approchée du résultat.
Exemple :
Division d’un nombre décimal par un entier
Effectuons maintenant la division de 16,2 par 3.
On commence par travailler avec la partie entière de 16,2 c’est-à-dire 16.
Puis on abaisse le 2 en plaçant une virgule après le 5 dans le quotient et on poursuit la division.
On obtient donc :
16,2 ÷ 3 = 5,4
Remarque
Attention : on ne peut jamais diviser un nombre par 0 !
Si on voulait diviser un nombre non nul a par zéro, cela reviendrait à chercher le facteur manquant dans la multiplication à trou : 0 x … = a
Or on sait que le produit 0 x # est toujours égal à 0 quelle que soit la valeur que l’on donne à #.
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Diviser par 10, par 100, par 1 000…
Diviser un nombre décimal par 10, 100, 1 000… revient à déplacer la virgule d’un, de deux, de trois… rangs vers la gauche en plaçant un ou plusieurs zéros si nécessaire.
Exemples :
23,5 ÷ 10 = 2,35
23,5 ÷ 100 = 0,235
23,5 ÷ 1 000 = 0,023 5
23,5 ÷ 10 000 = 0,002 35
Remarque : Diviser par 10, par 100, par 1000… revient à multiplier par 0,1, par 0,01, par 0,001… ou à prendre le dixième, le centième, le millième… d’un nombre.
Exemples :
Ordre de grandeur
Dans le calcul d’un quotient, lorsque l’on remplace le dividende et le diviseur par des nombres plus simples mais très proches, le résultat obtenu est appelé ordre de grandeur du quotient.
Exemple :
Recherchons un ordre de grandeur de 1 288,77 ÷ 19.
1 288,77 est proche de 1 300
19 est proche de 20
La valeur exacte de 1 288,77 ÷ 19 est : 1 288,77 ÷ 19 = 67,83.
Remarque :
Calculer un ordre de grandeur d’un produit permet de prévoir ou de vérifier un résultat.
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