Cours maths seconde

Les ensembles de nombres

Définition et étude des différents ensembles de nombres et des irrationnels.
Inclusion des ensembles.
Représentation des réels.
Calculs sur les nombres.

 

Les entiers

L’ensemble des entiers naturels est noté .
= {0;1;2;3;4;5;…;75;…;103;…}
(ce sont les entiers positifs)

L’ensemble des entiers relatifs est noté .
= {…;-36;-35;…;-2;-1;0;1;2;3;…;134;…}
(ce sont les entiers positifs ou négatifs)

  

 

Les décimaux

L’ensemble des décimaux est noté .
(ce sont les nombres qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule)

 

Exemples :

⇒ 14,891 ou -0,005 sont des décimaux.
⇒ 1/3= 0,333….3…..3....... n’est pas un décimal.

.

 

Les rationnels

L’ensemble des rationnels est noté .

(ce sont les quotients de deux entiers relatifs a par b; (a,b) )

.

 

Exemples :

1/8 = 0,125 est un rationnel et un décimal.
177/99 est rationnel mais pas décimal car 177/00 = 1,787878...78…
5/-3 = - (5/3) = -5/3 est un rationnel.

 

Les réels et les irrationnels

L’ensemble de tous les nombres connus est noté ,ensemble des nombres réels.

Par conséquent, tout nombre est réel.

L’ensemble des irrationnels sont les nombres réels qui ne sont pas rationnels.

L’ensemble des irrationnels est noté .

 

Exemples :

toutes les racines carrées de nombres entiers naturels qui ne peuvent pas se simplifier sont des irrationnels.

 

Fraction décimale

Méthode :

Comment déterminer si une fraction est décimale ou non ?
→ 1ère étape : On rend cette fraction irréductible.
→ 2ème étape : Pour que la fraction soit décimale, il faut et il suffit que son dénominateur puisse être écrit comme un produit de puissances de 2 et de 5 (et uniquement de celles la).

 

Exemples :

 

Inclusion des ensembles

 

Remarques relatives à l’inclusion des ensembles

signifie :
Tout entier naturel est aussi un entier relatif.

signifie :
Tout entier relatif est aussi un décimal.

signifie :
Tout décimal est aussi un rationnel.

signifie :
Tout rationnel est aussi un réel.

 

Représentation des réels

L’ensemble est représenté par une droite graduée. Chaque nombre réel est représenté par un point de la droite graduée, et tout point de cette droite représente un réel.