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Cours maths Terminale S

Etude de la fonction logarithme

Après un bref rappel des résultats vus dans le module de définition des fonctions logarithmes, nous menons l’étude approfondie de la fonction logarithme népérien.

1/ Rappels sur la fonction logarithme

Dans le module de définition des fonctions logarithmes, les différentes façons d’aborder cette nouvelle notion ont été vues et le lien entre elles a été fait.

Rappel : la fonction logarithme népérien peut être définie :
- en tant que fonction réciproque de la fonction exponentielle. ou
- en tant que primitive de la fonction inverse sur ] 0 ; [ s’annulant en 1.

Nous pourrons donc indépendamment selon les prochaines notions abordées choisir une définition ou l’autre, tout en ayant à l’esprit de continuer à faire le liens entre ces deux définitions afin de donner encore plus de sens au cours et afin de se donner un maximum de points de repère.
Avant de mener une étude détaillée de la fonction logarithme népérien, rappelons les résultats déjà acquis.
La fonction logarithme népérien est définie sur l’intervalle ] 0 ; [

Un réel négatif ou nul ne possède donc pas d’image par la fonction logarithme.

La fonction logarithme népérien est à valeurs dans R.

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle :

Pour tout x > 0 : y = ln x ⇔ x = ey

Valeurs de référence : ln 1 = 0 et ln e = 1

Pour tout réel x > 0 : : eln x = x
Autrement dit, tout nombre réel x > 0 possède une écriture exponentielle : x = eln x
Attention !
Les deux égalités ne sont donc pas toutes les deux vraies pour tout réel.

Une telle écriture est impossible pour x > 0 car alors le nombre lnx n’existe pas.

Pour tout réel y : ln ey = y
Autrement dit, tout nombre réel y possède une écriture logarithmique : y = ln ey
Remarque :
Pour cette dernière propriété, nous utilisons la variable y pour cadrer avec notre schéma mais on peut également énoncer ce résultat sous la forme : pour tout réel x : x = ln ex
La fonction logarithme népérien est continue, dérivable et strictement croissante sur ] 0 ;[

et : Pour tout x > 0 :
La fonction logarithme népérien réalise une bijection de ] 0 ; [ sur R.
Conséquence :
Quels que soient a et b réels strictement positifs : ln a = ln b ⇔ a = b

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ] 0 ; [
Conséquence :
Quels que soient a et b réels strictement positifs : ln a < ln b ⇔ a < b

Attention !
Les propriétés des fonctions logarithmes suivantes ne sont valables
que pour a et b strictement positifs.

le logarithme du produit vaut la somme des logarithmes.

le logarithme de l’inverse vaut l’opposé du logarithme.

le logarithme du rapport vaut la différence des logarithmes.

le logarithme d’un nombre à la puissance n vaut
le produit du logarithme de ce nombre par n.

Cette propriété vraie pour tout entier relatif n, l’est également pour

Or, rappel :

D’où : Les propriétés des fonctions logarithmes

2/ Etude de la fonction logarithme népérien

Nous savons que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ] 0 ;[.

Pour dresser son tableau de variations complet, il ne nous reste donc qu’à trouver ses limites aux bornes.

Montrons :
Pour démontrer ce résultat, il faut revenir à la définition de limite infinie en l’infini.
* Soit, B réel fixé, strictement positif.
Son écriture logarithmique est : B = ln eB Posons x0 = eB

* Quel que soit x > x0
comme la fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ;[ :

ln x > ln x₀
Soit : ln x >

Quel que soit le réel B fixé, il existe donc un réel à partir duquel ln x est supérieur à B.

Par définition, la limite en de la fonction ln est donc :

Montrons à présent que : à l’aide d’un changement de variable.
Posons :
* alors : d’où :
* Or :
* Donc :

Les deux premiers résultats concernant les limites et la fonction logarithme sont donc :

Remarque :
on aurait également pu déduire ces résultats des limites de la fonction exponentielle.

En effet, ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, or : donc :
et : donc :

On peut également y rajouter
les deux valeurs de référence :

Il est également intéressant
d’en déduire le tableau de signe
de la fonction ln :

En utilisant les variations de la fonction ln ou la propriété vue en rappels, on démontre que :

On peut enfin tracer la courbe de la fonction logarithme :

3/ Tracé de la fonction logarithme népérien

Rappel : e ≈ 2,714

À l’aide des nombres dérivés
en nos deux valeurs de référence,
nous pouvons tracer les tangentes
à la courbe en 1 et e.

Donc la tangente au point d’abscisse e a pour équation : Le point de tangence a pour coordonnées : A ( e ; lne ) , soit A ( e, 1 ).
D’où : Donc b = 0. La tangente en e passe donc par l’origine.
Comme , la courbe admet l’axe des ordonnées comme asymptote verticale.

Remarque :
La fonction logarithme étant la fonction réciproque de la fonction exponentielle, les courbes de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la première bissectrice.
* Il est capital de savoir tracer ces deux fonctions de référence si l’on veut être capable de travailler avec. Leurs courbes à elles seules résument une grande quantité de résultats.

4/ Approximation affine au voisinage de 0

Intéressons-nous au nombre dérivé de la fonction logarithme en 1 :

Par définition du nombre dérivé :

* Soit :

* Or

* D’où :

Remarque :
ce résultat est à retenir, ce qui n’est pas très difficile si l’on sait que pour le retrouver, il suffit d’utiliser la définition du nombre dérivé en 1 appliqué à la fonction ln.

En utilisant le nombre dérivé,
il est également possible de trouver une approximation affine de la fonction : h → ln(1 + h)
* pour h assez proche de 0 : ln (1 + h) ≈ ln1 + ln' (1) x h
* d'où : ln (1 + h) ≈ h
Une approximation affine de la fonction x → ln (1 + x) au voisinage de 0 est donc :
pour x proche de zéro

5/ Croissances comparées

D’autres résultats sur les limites, liés à la fonction logarithme sont également à connaître.
Ils permettent de trouver les limites de fonctions mélangeant polynômes et logarithme.

Le premier de ces résultats est le suivant :

Démonstration :
Rappel :
Nous allons nous ramener à ce résultat en utilisant un changement de variable.

Posons : X = ln x alors : x = ex
* D’où :
* Or : et :
* Donc:

Le second de ces résultats est le suivant : Il se déduit du premier en opérant un changement de variable :

Posons :
* On a alors :
* D’où :
* et
* d'où :

En résumé, les deux nouveaux résultats sur les limites, à connaître sont :

Une méthode simple pour retenir ces deux Formes Indéterminées est de se dire que dans les deux cas,
la limite serait la même si on remplaçait ln x par 1.

En , cette méthode se comprend en se disant que la fonction qui à x associe x croit « infiniment » plus vite que la fonction ln.

Comparée à cette fonction, la fonction ln est alors aussi négligeable que si elle valait 1.

On dit alors que :
la fonction qui à x associe x l’emporte sur la fonction logarithme népérien en l’infini et en zéro.
Remarque :
la fonction qui à x associe x est appelée fonction identité.

6/ Dérivée de fonctions composées

Exemple :
Soit la fonction f définie sur R par : f (x) = ln (x2 + 1)

u en tant que fonction polynôme est dérivable sur R.

* Et pour tout x : x2 + 1 > 0 , donc u(R) ] 0 ; [
La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; [
Donc sur u(R).

Par composition, f est dérivable sur R.
* Et pour tout réel x :

Cas général :
Soit la fonction f ayant pour expression : f (x) = ln [ u(x) ] et soit un intervalle I.

Dans un premier temps, pour que f soit définie sur I, il faut pour tout x de I : u(x) > 0.

Si de plus, u est dérivable sur I, comme u(I) est inclus dans ] 0 ; [ où ln est dérivable, alors, par composition f est dérivable sur I.

Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I
alors la fonction f définie par : f (x) = ln [u (x)]
est dérivable sur I et pour tout x de I :
formule que l’on peut énoncer plus rapidement sous la forme :