Cours maths Terminale S

Fonction exponentielle

Dans ce module est introduite la fonction exponentielle, en tant que seule fonction ayant pour dérivée elle-même et prenant la valeur 1 en 0.

 

1/ Définition de la fonction exponentielle

Théorème de la fonction exponentielle:
Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que pour tout x réel :
f ' (x) = f (x) et f (0) = 1

Définition :
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp.
Théorème de la fonction exponentielle:
Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que pour tout x réel :
f ' (x) = f (x) et f (0) = 1

 

Remarques :
1) La démonstration du théorème est admise.
( On trouvera dans la plupart des livres de terminale, la démonstration de l’unicité. )

2) La fonction exponentielle est donc la seule fonction qui ait pour dérivée elle-même et qui prenne la valeur 1 en 0.

3) k étant réel, toute fonction du type : g (x) = k x exp (x) a pour dérivée elle-même.
4) La fonction exponentielle est dérivable sur R donc continue sur R.

 

Propriété de la fonction exponentielle:: ( admise )
Pour tout x de R : exp (x) > 0
La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
Conséquence :
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.

En résumé :
La fonction exponentielle, notée exp :
- est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur R.
- pour tout x : exp' (x) = exp (x)
- pour tout x : exp(x) > 0
- exp (0) = 1

 

2/ Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Les propriétés qui suivent seront démontrées dans l’exercice n°1 dans votre espace membre qui constitue un R.O.C.

 

 

3/ Équations de la fonction exponentielle

Théorème de la fonction exponentielle:
La fonction exponentielle est une bijection de R sur ] 0 ; [

 

Démonstration :
La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur R donc, d’après le théorème de la bijection : elle réalise une bijection de R sur exp(R) .

Or, dans le prochain module, l’étude des limites de la fonction exponentielle nous permettra de montrer que : exp (R) = ] 0 ; [

La fonction exponentielle réalise donc une bijection de R sur ] 0 ; [

 

Conséquence n° 1 :
Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [
signifie que pour tout réel y > 0, il existe un et un seul x réel tel que y = exp(x).

On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle,
qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x).
Cette fonction, donc définie sur ] 0 ; [ et à valeurs dans R est appelée :
fonction logarithme népérien et notée ln.

 

 

Se lit : « L » « N » de y.

 

La fonction logarithme népérien sera l’objet d’étude d’un futur module.

Ce qu’il est important de comprendre pour l’instant d’un point de vue purement pratique,est que :
tout nombre réel y strictement positif peut s’écrire sous forme exponentielle :
y = exp(x) avec x = ln y

Autrement dit que :
Tout nombre réel y > 0 peut s’écrire : y = exp(ln y)

 

Conséquence n° 2 :
Quels que soient a et b réels :exp(a) = exp(b) ⇔ a = b
Démonstration
Sens réciproque : si a = b alors exp(a) = exp(b).
Sens direct :
Le fait que la fonction exponentielle réalise une bijection de R sur ] 0 ; [ signifie que pour tout réel y >0, il existe un et un seul x réel tel que exp(x) = y.

Soient a et b réels tels que exp(a) = exp(b).
exp(a) > 0 , posons y = exp(a).
Si b ≠ a alors il existe deux réels distincts qui ont pour image y par la fonction exponentielle.
Ce qui est contraire qu fait que exp soit une bijection de R sur ] 0 ; [ donc a = b .

Utilisation pratique :

Cette équivalence va nous permettre de résoudre des équations du type : exp (x) = k
- si k > 0 alors k peut s’écrire k = exp (ln k) et l’équation devient : exp (x) = exp (ln k)
D’où : x = ln k , d’après l’équivalence.
Et dans le cas très particulier où k=1, on peut se passer du logarithme népérien :
exp (x) = 1 ⇔ exp (x) = exp (0) ⇔ x = 0

 

4/ Inéquations de la fonction exponentielle

Quels que soient a et b réels : exp (a)
Démonstration
Sens réciproque :
si a R : exp(a)
Sens direct :
Soient a et b réels tels que : exp(a)
Montrons par l’absurde que a
Supposons a > b

on aurait alors, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R : exp(a) > exp(b).

Ce qui est contraire à l’hypothèse : exp(a) .

Équivalence qui peut être élargie en la combinant à la conséquence n° 2 :
Quels que soient a et b réels : exp(a) exp(b) ⇔ a b

 

Utilisation pratique :

Ces équivalences vont nous permettre, dans certains cas, de résoudre des inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle.
Si l’inéquation est par exemple : exp (x) > 3
3 > 0 donc il peut être écrit : 3 = exp (ln 3)
Et l’inéquation devient : exp (x) > exp (ln3) ⇔ x > ln 3
Une valeur approchée de ln3 pouvant être trouvée à la calculatrice si besoin est.

 

5/ Notation puissance de la fonction exponentielle

Le nombre exp(1) est noté e.
Une valeur approchée de e est : e ≈ 2,718

 

On a alors pour tout n entier naturel : exp(n) = exp (n x 1) = (exp (1))n

Et l’exponentielle de tout entier naturel peut donc être notée sous la forme d’une puissance : exp (n) = en

Cette remarque étant faite sur les naturels, on décide d’étendre cette notation puissance à tous les réels :
Pour tout x réel, exp(x) peut maintenant être notée : exp (x) = ex