Cours maths 1ère S

Fonctions - Comportement global

Fonctions - Comportement global

Comportement global des fonctions

Les fonctions sont des outils mathématiques qui permettent de résoudre de très nombreux problèmes de la vie courante.

Il est donc important d’être capables de les étudier et d’étudier leur comportement global. Nous allons voir quelques propriétés des fonctions qui donnent des informations sur l’allure de la courbe représentative.

 

Parité d'une fonction

Exemples

⊗ Les fonctions ƒ : x → | x | et g : x → x² sont des fonctions paires.

En effet, on a, pour tout x ∈ R,

ƒ : (-x) = | -x | = | x | = ƒ (x)
et
g : (-x) = (-x)² = x² = g (x)

⊗ Les fonctions h : x → x, i : x → sin x et j : x → x3 sont des fonctions impaires.

En effet, on a, pour tout nombre réel x,

h (-x) = -x = -h (x)
i (-x) = sin (-x) = -sin x = -i(x)
j (-x) = (-x)3 = -x3 = -j (x)

 

Interprétation graphique de la parité

Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, , ).

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle I et R centré en O et soit Cƒ la courbe représentative de ƒ dans le repère (O, , ).

- Si f est paire, alors la courbe Cƒ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (O, ). - Si f est impaire, alors la courbe Cƒ est symétrique par rapport au point O.

Exemples

⊗ La fonction ƒ : x → x² est paire.

Sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

⊗ La fonction g : x → x3 est impaire.

Sa courbe représentative est symétrique par rapport au point O.

Remarque

 ● Attention !

Il existe des fonctions qui ne sont ni paires, ni impaires.

La fonction ƒ définie par ƒ (x) = x² + x n'est ni paire, ni impaire.

En effet, pour tout x ∈ ℝ, ƒ (-x) = (-x)² - x = x² - x

Et on a ƒ (1) = 1 + 1 = 2
et ƒ (-1) = (-1)² - 1 = 0
d'où ƒ (-1) ≠ ƒ (1) et ƒ (-1) ≠ - ƒ (1)

La fonction ƒ n'est ni paire, ni impaire.

Pour étudier une fonction paire ou impaire définie sur un intervalle I de ℝ, il suffit de restreindre l'étude aux réels positifs, c'est à dire sur I ∩ R+, et d'utiliser les propriétés de symétrie de la courbe.

 

Eléments de symétrie d'une courbe

⊗ Condition sur l’ensemble de définition

Pour que la courbe représentative C d’une fonction ƒ admette pour axe de symétrie une droite Δ d’équation x = a ou pour centre de symétrie un point Ω(a, b), l’ensemble de définition D de f doit être symétrique par rapport au réel a.

Exemples

- L’intervalle [-2,8] est symétrique par rapport à son centre 3.

- L’intervalle [3, +∞[ n’est symétrique par rapport à à aucun nombre réel.

 

Axe de symétrie d'une courbe

Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, , ).

Propriété :

Soit ƒ une fonction définie sur une partie D de R et soit C sa courbe représentative.

La courbe C admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si

- D est symétrique par rapport à a,
- pour tout x et D, ƒ (2a - x) = f (x)

Démonstration

Soit M (x,y) un point du plan et soit M' (x',y') son symétrique par rapport à la droite Δ d'équation x = a. Comme la droite Δ est verticale on a y' = y.

De plus, a est le milieu de x et de x', donc
La courbe C admet Δ pour axe de symétrie si et seulement si, on a :

M ∈ C ⇔ M' ∈ C

On a donc, C admet Δ pour axe de symétrie si et seulement si

(x ∈ D et y = ƒ (x)) ⇔ (x' ∈ D et y' = ƒ (x'))
                              ⇔ (2a - x ∈ D et y = ƒ(2a - x))

La condition (x ∈ D) ⇔ (2a - x ∈ D) signifie que l'ensemble de définition D de ƒ est symétrique par rapport à a.

L'autre condition (y = ƒ (x)) ⇔ (y = ƒ(2a - x)) peut s'écrire ƒ (2a - x) = ƒ (x).

Remarque

On a donc :

La courbe C admet l’axe des ordonnées (c’est-à-dire la droite d’équation x = 0) comme axe de symétrie si et seulement si :

    - D est symétrique par rapport à 0     - pour tout x ∈ D, ƒ (-x) = ƒ(x)

On retrouve comme cas particulier de ce résultat, le cas des fonctions paires.

 

Centre de symétrie d'une courbe

Le plan est muni d’un repère orthogonal (O, , ).

Propriété :

Soit ƒ une fonction définie sur un intervalle D de R et soit C sa courbe représentative. La courbe C admet le point Ω(a, b) pour centre de symétrie si et seulement si :

- D est symétrique par rapport à a
- Pour tout x de D, on a

ƒ (x) + ƒ (2a - x) = 2b

Démonstration

Soit M (x, y) un point du plan et soit M' (x',y') son symétrique par rapport au point Ω(a, b).

Le point Ω est le milieu du segment [MM'].

On a donc

On en déduit

x' = 2a - x et y' = 2b - y

La courbe C admet le point Ω comme centre de symétrie si et seulement si :

M ∈ C ⇔ M' ∈ C

c'est à dire

(x ∈ D et y = ƒ (x)) ⇔ (x' ∈ D et y' = ƒ (x'))

La condition (x ∈ D x' = 2a - x ∈ D) signifie que D est symétrique par rapport à a.

La condition (y = ƒ(x) ⇔ y' = ƒ(x')) revient à 2b - y = ƒ(2a - x) c'est à dire ƒ(x) + ƒ(2a - x) = 2b

 

Fonctions périodiques

Définition :

Soit T un nombre réel strictement positif et soit f une fonction définie sur une partie D de R.
La fonction ƒ est périodique de période T si et seulement si :
- x ∈ D si et seulement si x + T ∈ D - pour tout x de D, ƒ (x + t) = ƒ (x)

Interprétation graphique

La courbe représentative d’une fonction périodique de période T est invariante par translation de vecteur ou - c’est-à-dire elle est sa propre image par cette translation.

Il suffit donc de connaître la courbe sur un intervalle quelconque de longueur T pour pouvoir la tracer complètement par des translations successives.

Exemples

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π car, pour tout nombre réel x, on a :
cos (x + 2π) = cos x
sin (x + 2π) = sin x

Remarque

Si T est une période de la fonction ƒ, alors tout multiple de T est encore période de ƒ.

4π, 6π, 8π..... sont aussi des périodes des fonctions cosinus et sinus.

 

Sens de variation

Définition :

Soit ƒ une fonction définie sr un intervalle I de R. -ƒ est strictement croissante sur I si et seulement si, pour tout x et x' de I, on a :
x

Définition :

ƒ est croissante sur I si et seulement si, pour tout x et x' de I, on a : x

Définition :

ƒ est strictement décroissante sur I si et seulement si, pour tout x et x' de I, on a : x ƒ(x')

Définition :

ƒ décroissante sur I si et seulement si, pour tout x et x' de I, on a : x

 

Tableau de variation

On résume les variations d’une fonction dans un tableau de variation.

La première ligne du tableau donne les intervalles de l’ensemble de définition de la fonction.

On y fait figurer en particulier les valeurs de x au passage desquelles le sens de variation de ƒ change.

La deuxième ligne représente le sens de variation de la fonction :

- Une flèche correspond à une croissance stricte.

- Une flèche correspond à une décroissance stricte.

- Une flèche correspond à un intervalle sur lequel la fonction est constante.

- Le symbole || signifie que la fonction n’est pas définie pour la valeur correspondante.

Exemple

Soit ƒ la fonction donnée par sa représentation graphique.

Son tableau de variation est :

 

Du sens de variation au signe de la dérivée

Rappelons les résultats suivants :

Propriété :

Soit ƒ une formation dérivable sur un intervalle I de R.

   ● Si ƒ est constante sur I, alors ƒ'(x) = 0 pour tout x ∈ I.
   ● Si ƒ est croissante sur I, alors ƒ'(x) ≥ 0 pour tout x ∈ I.
   ● Si ƒ est décroissante sur I, alors ƒ'(x) ≤ 0 pour tout x ∈ I.

 

Du signe de la dérivée au sens de variation

Théorème de monotonie

Théorème :

Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I de R.

   ● Si, pour tout x ∈ I, ƒ'(x) ≥ 0, alors ƒ est croissante sur I.
   ● Si, pour tout x ∈ I, ƒ'(x) ≤ 0, alors ƒ est décroissante sur I.
   ● Si, pour tout x ∈ I, ƒ'(x) = 0, alors ƒ est constante sur I.

 

Théorème de stricte monotonie

Théorème de stricte monotonie

Théorème :

Soit ƒ une fonction dérivable sur un intervalle I de R.

   ● Si ƒ'(x) > 0 sur I (sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs de x où ƒ’ s’annulerait), alors ƒ est strictement croissante sur I.
   ● Si ƒ'(x)

Exemple

ƒ(x) = x²

Alors ƒ'(x) = 2x
On a ƒ'(x) > 0 pour x > 0
et ƒ'(x)
La fonction est donc strictement croissante sur l'intervalle ]0,+∞[ et strictement décroissante sur l'intervalle ]-∞,0[.

 

Méthode

Le sens de variation d’une fonction est donné par le signe de sa dérivée.

Pour étudier les variations d’une fonction dérivable, on calcule donc sa dérivée, puis on détermine le signe de la dérivée et on dresse le tableau de signe de la dérivée et le tableau de variation de la fonction.

Exemple