Cours maths 1ère S

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions

 

Les fonctions

Le saviez-vous ???
On se demande souvent « Quel temps va-t-il faire demain ? », « Est-ce qu’il va y avoir de la neige ou du soleil ?... ». Afin de répondre au mieux à ces questions les scientifiques utilisent des fonctions mathématiques. Cela permet d’étudier les variations de température, les déplacements de masses nuageuses et ainsi d’anticiper la météo !!!

Quelques points importants à retenir :

Important: Qu’est-ce qu’une fonction ?

►Soit D une partie de ℝ
On définit une fonction f de D dans ℝ en associant à chaque nombre réel x de D un nombre réel et un seul noté f(x).

On note
et on lit « fonction f de D dans ℝ qui à x associe f(x) ».On dit que f(x) est l’image de x par f et que x est un antécédent de f(x).

Attention !

Il ne faut pas confondre la fonction f et le nombre réel f(x) qui désigne l’image de x par f .

Exemple

Soit f la fonction définie par :

L’image f(2) de 2 par la fonction f vaut :

 

Ensemble de définition

►L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble de tous les nombres réels qui possèdent une image par f.

On le note Df

Exemple 1

On a:

car on ne peut pas diviser par 0.

Exemple 2

Pour que la fonction f soit définie, il faut que 3-x soit positif ou nul car la racine carrée d’un nombre n’est définie que si le nombre est positif ou nul.

d’où

 

Représentation graphique

→La représentation graphique d’une fonction ou courbe représentative

Soit f une fonction et soit Df son ensemble de définition.
Dans un repère, l’ensemble des points M de coordonnées (x, f(x)) où x décrit Df est appelé courbe représentative ou représentation graphique de la fonction f.

On la note Cf et on dit que Cf a pour équation y=f(x).

 

Sens de variation d’une fonction

Quelques points importants à retenir :

→ Le sens de variation d’une fonction f

Soit une fonction f définie sur un intervalle I.
Plusieurs possibilités sont envisageables sur cet intervalle :
- soit f est croissante,
- soit f est décroissante,
- soit f est strictement croissante,
- soit f est strictement décroissante.

Nous allons voir maintenant comment étudier ce sens de variation.

 

Fonctions croissantes

Soit une fonction f définie sur un intervalle I de ℝ .
On dit que :
- f est croissante sur I si pour tous x et x’ dans I on a :

- f est strictement croissante sur I si pour tous x et x’ dans I on a :

Si une fonction est croissante ou strictement croissante, les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.

On dit que f conserve l’ordre.

 

Fonctions décroissantes

Soit une fonction f définie sur un intervalle I de ℝ .
On dit que :
- f est décroissante sur I si pour tous x et x’ dans I on a :
- f est strictement décroissante sur I si pour tous x et x’ dans I on a :

Si une fonction est décroissante ou strictement décroissante, les images sont rangées dans l’ordre inverse des antécédents.

On dit que f inverse l’ordre.

 

Fonctions constantes

Une fonction f est constante sur un intervalle I s’il existe un nombre réel c tel que pour tout x dans I, on ait :

Exemple 1

La fonction

est une fonction constante sur ℝ .

 

Fonctions monotones

Soit une fonction f définie sur un intervalle I de .
On dit que :
- la fonction f est monotone sur I si f est croissante sur I ou décroissante sur I.
- la fonction f est strictement monotone sur I si f est strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I.

Exemple 1

La fonction est décroissante sur ℝ donc c’est une fonction monotone sur ℝ .

Exemple 2

Etudions la monotonie de la fonction

La fonction g est décroissante sur et croissante sur .

Elle n’est donc pas monotone sur ℝ .

Par contre elle est monotone sur chacun des deux intervalles et .

 

Tableau de variation

→ Le tableau de variation d’une fonction

On résume les variations d’une fonction dans un tableau de variation.

La première ligne du tableau donne les intervalles de l’ensemble de définition de la fonction. On y fait figurer en particulier les valeurs de x au passage desquelles le sens de variation de f change.

La deuxième ligne représente le sens de variation de la fonction :
- une flèche correspond à une croissance stricte,
- une flèche correspond à une décroissance stricte,
- une flèche correspond à un intervalle sur lequel la fonction est constante,
le symbole || signifie que la fonction n’est pas définie pour la valeur correspondante.

Quelques points importants à retenir :

Une flèche oblique dans le tableau de variation de f indique par convention :
- La stricte monotonie de f sur l’intervalle correspondant : croissance stricte (si la flèche est vers le haut) ou décroissance stricte (si la flèche est vers le bas).
- La continuité de la courbe de f, sans rupture sur cet intervalle.

Exemple

Soit f la fonction donnée par sa représentation graphique :

Son tableau de variation est :

 

Extrema

→ Extrema d’une fonction

- Le maximum M d’une fonction f sur un intervalle I est la plus grande valeur de f(x) pour x variant dans I.

- Le minimum m d’une fonction f sur un intervalle I est la plus petite valeur de f(x) pour x variant dans I.

- Un extremum est un maximum ou un minimum.

Exemple

Soit f la fonction donnée par sa représentation graphique :

Le maximum de f sur l’intervalle [-4, 7] vaut 3.
Il est atteint pour x = - 2.

Le minimum de f sur l’intervalle [-4, 7] vaut -3.
Il est atteint pour x = 5.