Cours maths Terminale S

Intégration - aires et volumes

Ce dernier module traitant de la notion d’intégration commence par des rappels concernant les propriétés, définitions et méthodes vues dans les deux autres modules.

 

1/ Bases avant intégration

► Notion d'une aire

Définition :
Soit le repère orthogonal L ’ unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ et se note u.a.

 

 

► Intégrale d'une fonction continue positive

Définition :

Soit f fonction continue positive sur un intervalle [ a ; b ] ( avec a < b ).

Et soit X sa représentation dans le repère

L’intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d’aire, l’aire de la partie du plan limitée par :

 

Propriétés :

= 0
Si f est nulle sur [ a ; b ] alors : = 0

 

► Intégrale d’une fonction continue négative

Définition :
Soit f fonction continue négative sur un intervalle [ a ; b ] ( avec a < b ).

Et soit X sa représentation dans le repère

L’intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée
est en unités d’aire, l’opposé de l’aire de la partie du plan limitée par :

 

► Intégrale d’une fonction continue

Définition :

Soit f fonction continue sur un intervalle [ a ; b ] ( avec a < b ).
Et soit X sa représentation dans le repère

L’intégrale de la fonction f sur [ a ; b ] notée est en unités d’aire, la différence entre : les aires situées au dessus de (Ox) et les aires situées en dessous de (Ox).

 

Théorème :
Soit f fonction continue sur un intervalle I de R.
Et soit a réel, appartenant à I.
La fonction F définie pour tout x de I par :
est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.

Conséquence :
Soit f fonction continue sur un intervalle I de R et soit F une primitive de f sur I.
Alors, quels que soient a et b appartenant à I :

 

Le nombre F (b) - F (a) est noté avec des crochets :

Propriétés pratiques : pour toute constante k :

► Propriétés de linéarité :
soient f et g fonctions continues sur l’intervalle [ a ; b ]

L’intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales.

Pour toute constante réelle k :

 

Conséquence des deux propriétés :
l’intégrale de la différence est égale à la différence des intégrales.

 

► Relation de Chasles :

soit f continue sur un intervalle I et soient a, b et c éléments de I.

 

► Positivité de l’intégrale :

Soit f fonction continue sur l’intervalle [ a ; b ].
Si pour tout x élément de [ a ; b ] : f (x) > 0 alors :
Autrement dit : « l’intégrale d’une fonction positive est positive ».
Et également : «l'intégrale d'une fonction négative est négative»

 

Conséquence n° 1:
soient f et g fonctions continues sur l’intervalle [ a ; b ].
Si pour tout x élément de [ a ; b ] : f (x) < g (x)
alors :

 

Conséquence n° 2 : Inégalité de la moyenne.

Soit f fonction continue sur l’intervalle [ a ; b ].
S’il existe deux réels m et n tels que pour tout x de [ a ; b ] : m < f (x) < M
alors :

 

► Théorème : intégration par parties

Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I,
et si leurs dérivées u’ et v’ sont continues sur I, alors,
quels que soient a et b éléments de I :

 

2/ Valeur moyenne d’une fonction

Définition : soit f fonction continue sur l’intervalle [ a ; b ].
La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [ a ; b ] est le réel défini par :
illustration graphique :
prenons l’exemple d’une fonction continue positive sur [ a ; b ].

 

Pour K = m : on a

 

 

3/ Calcul d’aire : surface limitée par deux courbes

Soit le repère orthogonal
Théorème : soient f et g fonctions continues sur l’intervalle [ a ; b ].
Soit A l’aire de la surface délimitée par la courbe de f et la courbe de g,
l’axe de abscisses, et les droites d’équation : x = a et x = b.
Si pour tout x de [ a ; b ], on a f (x) < g alors : A=

 

4/ Aires et volumes

Soit f fonction continue sur l’intervalle [ a ; b ].
Et soit X sa représentation dans le repère

 

Ce même principe de raisonnement peut être appliqué aux calculs de volumes.
En faisant pivoter la courbe de f autour de l’axe (Ox), on engendre un solide de révolution.

 

Plus l’écart dx sera petit et plus la somme des volumes des cylindres sera proche de

 

Autrement dit, la somme des tend versquand dx tend vers 0, pour x allant de a à b.

Cette limite de somme est notée avec un grand s étiré :
et on a donc
Or : R (x) = f (x) donc

 

Théorème :

Soit f fonction continue sur un intervalle [ a ; b ].
En faisant pivoter la courbe de f autour de l’axe (Ox),
on engendre un solide de révolution, dont le volume est :

 

Remarques :
1) Cette formule est souvent rappelée dans les énoncés de BAC.
2) Il vaut mieux savoir retrouver cette formule plutôt que de l’apprendre.
On sera alors capable de trouver le volume de solides engendrés par rotation autour d’autres axes.

 

Exemple : volume d’un cylindre
Soit f fonction constante sur l’intervalle [ 2 ; 7 ] définie par f (x) = 2,5

Et x est compris entre 2 et 7 donc :