Cours maths Terminale S

Loi binomiale

Ce module commence par la définition d’une épreuve de Bernouilli.
Deux exemples d’expériences aléatoires sont ramenés à une schématisation du type Bernouilli grâce à la définition des événements succès et échec.

 

1/ Épreuve de Bernouilli

Soit une urne contenant 2 boules rouges, 3 boules vertes et 3 boules jaunes.
Et soit l’expérience aléatoire qui consiste à tirer simultanément 2 boules de l’urne.

Une issue est une combinaison de 2 éléments pris parmi 8 donc :
Il est possible de considérer un grand nombre d’événements formés à partir de ces 28 issues.

Exemples :

A : « les 2 boules sont rouges ».
B : « les 2 boules sont de couleurs différentes ».
C : « une des boules au moins est verte ». Etc…
Cependant, il est possible de ne considérer l’expérience que du point de vue de la réalisation d’un seul événement, l’expérience prend alors le nom d’ épreuve de Bernouilli.

 

L’événement auquel on s’intéresse est appelé « succès ».
Il est noté S et sa probabilité est notée p.
Son événement contraire est alors qualifié d’ « échec ». Il est noté

 

Succès et échec formant une partition de l’univers, on a : p + q = 1
Soit : q = 1 - p
Quelle que soit l’expérience de départ,
l’arbre pondéré d’une épreuve de Bernouilli est toujours le même :

 

Exemple :

Considérons comme succès l’événement : S : « les 2 boules tirées sont rouges ».

Alors, comme il n’ y a que 2 boules rouges dans l’urne :

Et donc :

Remarque :

Toute expérience, même constituée de plusieurs étapes peut être ramenée à une simple épreuve de Bernouilli.

Exemple :

Imaginons une expérience en deux étapes dont l’arbre pondéré est :

 

Si on décide que le seul événement qui nous intéresse est l’événement que l’on estime correspondre à un succès.

Alors, l’arbre de cette épreuve peut se résumer à :

 

2/ Éxpérience de Bernouilli. Schéma de Bernouilli

On appelle expérience de Bernouilli d’ordre n, la répétition de n épreuves de Bernouilli, identiques et indépendantes..

Les épreuves sont considérées comme indépendantes si la réalisation d’un épreuve n’a aucune influence sur le résultat des autres.

Si les épreuves sont identiques et indépendantes alors la probabilité de succès est la même pour chaque épreuve.

Reprenons l’exemple de l’urne

Imaginons que l’on répète 3 fois l’expérience qui consiste à tirer simultanément 2 boules de l’urne.

Considérons encore comme un succès, le tirage de deux boules rouges.

Les épreuves sont, dans ce cas, indépendantes et identiques
si l’on remet à chaque fois dans l’urne les 2 boules tirées.

La répétition de cette épreuve 3 fois, constitue une expérience de Bernouilli d’ordre 3.

Cette expérience peut être représentée à l’aide d’un arbre pondéré.
Toute expérience de Bernouilli d’ordre 3 possède un même arbre pondéré, appelé schéma de Bernouilli d’ordre 3.

Schéma de Bernouilli d’ordre 3 :

Chaque issue peut être considérée
comme un mot de 3 lettres
prises dans l’ensemble { S ; }
Issue : ou
Et la probabilité de cette issue est : p x q x p
Soit p2 x q

L’ordre n’ayant pas d’importance
dans la multiplication :

les autres issues formées de deux succès
et d’un échec ont la même probabilité.

 

3/ Loi binomiale : cas d’une expérience de Bernouilli

Ce qui nous intéresse dans cette expérience, est évidemment de savoir combien on peut espérer de succès en répétant 3 fois l’épreuve.

Aussi, on définit la variable aléatoire X,
qui associe, à chaque issue, le nombre de succès qu’elle comporte.

Établissons en suite la loi de probabilité de X.

Les cas extrêmes sont très simples à calculer : (ci-dessus et ci-dessous)

 

[ X = 2 ] est constitué des différentes issues formées de 2 succès et 1 échec.

Comme nous l’avons vu, ces issues ont toute la même probabilité.
Calculons donc la probabilité d’une de ces issues : p ( S S ) = p2q

On va chercher en suite combien il y a d’issues formées de 2 succès et 1 échec.

Il y en a 3, ce qui s’explique ainsi:

une issue étant un mot de 3 lettres,
former un mot avec 2 S et 1 :
c’est choisir 2 cases parmi 3 où placer les 2 S
puis compléter la case vide avec un .

Il y a choix pour les 2 cases et une seule façon de compléter.
Or : D’où 3 issues à 2 S et 1 .
Et au final : p [ X = 2 ] = 3 x p2 q

 

En raisonnant de même pour l’événement [ X = 1 ] , on obtient loi de probabilité de X :

 

Vérifions que la somme des probabilités vaut bien 1 :



= forme développée du binôme (q + p)3
Et : (q + p)3 = 13 = 1



On remarque ainsi que les p [ X = xi ] sont les monômes formant le binôme (q + p)3

c’est pourquoi on dit que la variable X suit une loi binomiale.

Cas d’une expérience de Bernouilli d’ordre n :

Soit une expérience de Bernouilli d’ordre n.

Soient p la probabilité de succès lors d’une épreuve et q la probabilité d’échec.

Si on note X la variable aléatoire qui donne le nombre de succès
lors de la réalisation de n épreuves,
les valeurs possibles de X sont : 0,1, …., n.

et X suit la loi de probabilité : pour : 0 < k < n
On dit que la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

 

Démonstration :

[ X = k ] est constitué des différentes issues formées de k succès et (n - k) échecs.

Comme nous l’avons vu, ces issues ont toute la même probabilité.
Calculons donc la probabilité d’une de ces issues p ( SS...S ... ) = pk qn-k
Et il y a autant d’issues de ce genre que de façons de choisir k cases parmi n donc :

 

3/ Loi binomiale : cas général

Plus généralement :

On dit que la loi de probabilité d’une variable aléatoire X parfois notée B(n;p)
est une loi binomiale de paramètre n et p si cette loi vérifie les deux conditions suivantes :

1°les valeurs possibles de X sont : 0,1, …., n.
2° Pour tout entier k tel que 0 < k < n : p [ X=k ]= p k qn-k

Remarque :

Une expérience de Bernouilli est un cas de référence d’expérience aléatoire à partir de laquelle on peut définir une variable aléatoire suivant une loi binomiale.

 

3/ Loi binomiale : espérance et variance

Notre objectif en introduisant la variable aléatoire comptant les succès était de connaître le nombre de succès que l’on pouvait espérer en moyenne, ayant trouvé la loi suivie par cette variable, cherchons maintenant son espérance.

Dans cet objectif, commençons par le cas d’une épreuve de Bernouilli ( isolée ) :
Soit X la variable aléatoire qui dénombre les succès lors d’une épreuve de Bernouilli.

On a donc : E (X) = 0 x q + 1 x p = p
Et : V (X) = q x (0 - p)2 + p x (1 - p)2
= qp2 + pq2 = qp (q + p) = qp

Cas d’une expérience de Bernouilli :

Soit une expérience de Bernouilli, constituée de la répétition de n épreuves de Bernouilli identiques et indépendantes dont la probabilité de succès est p.

Si X est la variable aléatoire qui dénombre les succès, alors :
E (X) = n x p
et V (X) = n x qp
Nous ne démontrerons pas ces résultats mais ils sont simples à percevoir.

En effet, les n épreuves étant indépendantes, il paraît logique que l’espérance de succès
pour les n épreuves soit égale à n fois l’espérance de succès pour une épreuve.

Or, comme on l’a vu, l’espérance pour une épreuve vaut p,
donc l’espérance pour l’expérience vaut nxp.

 

Plus généralement :
Si X est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p alors :
E (X) = n x p      et      V (X) = n x qp

 

3/ Loi binomiale : exemple d’utilisation

Reprenons notre exemple de départ :

Soit une urne contenant 2 boules rouges, 3 boules vertes et 3 boules jaunes.

On répète 10 fois, de façons identiques et indépendantes, l’expérience aléatoire consistant à tirer simultanément 2 boules de l’urne.

Exemple de question :

Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 3 fois, deux boules de même couleur ?
L’expérience isolée consistant à tirer simultanément 2 boules de l’urne peut être assimilée à une épreuve de Bernouilli,
l’événement correspondant à un succès étant : « les 2 boules sont de même couleur ».

Calculons p, la probabilité de S :

Et S est équivalent à : « les boules sont toutes les deux : rouges, vertes ou jaunes »
D'où :

La répétition des 10 épreuves de Bernouilli se faisant de façon indépendante et identique, l’expérience globale est une expérience de Bernouilli.

Et la variable aléatoire dénombrant les succès suit donc une loi binomiale de paramètres 10 et
L’événement A : « obtenir exactement 3 fois 2 boules de même couleur »
correspond à l’événement : « obtenir exactement 3 succès ».

Or, en appliquant la loi binomiale :

Remarque :

On peut aussi retrouver ce résultat sans utiliser la loi binomiale en raisonnant simplement sur le schéma de Bernouilli :

- probabilité d’un parcours avec exactement 3 succès : p3 x q7
- nombre de parcours avec exactement 3 succès

= nombre de façons de placer 3 S sur 10 cases =

 

4/ Test d’adéquation à une loi équirépartie : exemple

Prenons un dé tétraédrique dont les 4 faces sont numérotées de 1 à 4.

Notre objectif est de mettre au point une stratégie pour savoir si ce dé est équilibré ou non.

Dans ce but, nous lançons 200 fois ce dé et notons dans un tableau le nombre d’apparitions de chaque face
Pour les calculs qui suivent, nous avons besoin des fréquences d’apparition de chaque face.


Et de même pour le reste.

En supposant le dé équilibré, si on le lance une fois, l’univers étant équiprobable, la probabilité d’obtenir chaque face est de , soit 0,25.
Donc, si le dé est équilibré, la fréquence trouvée pour chaque nombre doit se rapprocher de 0,25.
Ceci, en vertu d’une loi mathématique, appelée « loi des grands nombres » qui affirme que :
« si on répète n fois une expérience identique, la fréquence d’apparition d’un événement tend vers sa probabilité quand n tend vers l’infini. »

Pour savoir si le dé est équilibré, nous allons utiliser le paramètre : d 2, défini par :

Remarque : Les différences sont mises au carré pour éviter qu’une différence positive ne compense une différence négative.

Ce d 2 correspondant ici à ce qui est observé pour « notre dé », on le note d 2abs (se lit "d carré observé")

Plus d 2abs sera « proche de zéro » et plus le dé sera équilibré.
Au contraire, plus ce nombre sera grand et moins le dé sera équilibré.

Mais quand considérer qu’un résultat est « proche de zéro » ou pas ?
Il se peut en effet que la valeur trouvée nous semble proche de zéro alors qu’en réalité, elle est bien supérieure au d 2 que l’on trouverait en lançant 200 fois un dé tétraédrique, connu comme étant parfaitement équilibré.

C’est pourquoi nous avons besoin de valeurs de référence.

Aussi, nous allons effectuer cette série de 200 lancers menant au calcul de d 2 avec un dé parfaitement équilibré, non pas une fois, mais par exemple 1000 fois.
Remarque : Ces 1000 séries de 200 lancers peuvent être obtenues par simulation à l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice.

Obtenant ainsi 1000 valeurs de référence pour d 2

Ces données statistiques peuvent alors être présentées :
- soit sous la forme d’un tableau donnant les effectifs pour chaque classe.

- soit sous la forme d’un diagramme en boîte. ( aussi appelé diagramme à moustaches )

Voyons comment lire un tel diagramme et comment s’y ramener si les résultats sont donnés sous la forme d’un tableau :

Rappel : la médiane partage l’effectif en deux parties égales.

Les 1000 valeurs trouvées pour d2 sont entre 0,001 et 0,1; soit 100% de l’effectif.
d1 est appelé le premier décile : 1/10 ième ou encore 10 % des valeurs trouvées ( 100 valeurs ) sont entre le minimum 0,001 et le premier décile qui vaut 0,0025.
d1 partage donc l’effectif en 10 % et 90 %.

d9 est appelé le neuvième décile : 9/10 ième ou encore 90 % des valeurs trouvées ( 900 valeurs ) sont entre le minimum 0,001 et le neuvième décile qui vaut 0,02.
d9 partage donc l’effectif en 90 % et 10 %.

Q1 et Q3 sont le premier et troisième quartile , ils partagent l’effectif en 25 % et 75 %.

Remarque :

Ce diagramme ne respecte pas les proportions qu’il y a entre les différentes valeurs, car un tel tracé serait trop compliqué et le résultat ne gagnerait finalement pas en lisibilité.
Chaque fois que l’on se trouvera dans la possibilité de respecter les proportions, on le fera, mais dans le cas contraire,on se contentera de tracer un diagramme symétrique.

Pour se ramener à un diagramme à moustache ou tout simplement pour pouvoir situer le d 2abs par rapport aux résultats de référence, quand leur répartition est donnée sous forme de tableau, il faut calculer les effectifs cumulés croissants en pourcentages.

Ici la valeur de d1, par exemple, est donc : 0,0025.

Maintenant, voyons les conclusions que l’on peut tirer de la position de d 2abs dans le diagramme :

Il faut tout d’abord se fixer un risque d’erreur et déterminer la valeur seuil correspondante.

Fixons nous, par exemple un risque d’erreur de 10 %.
C’est à dire que nous décidons que les 10 % de valeurs se situant après le 9ième décile
sont mauvaises, ou encore marginales.

Autrement dit, si le d 2abs de notre dé est supérieur à d 9 il sera considéré comme non équilibré.

Cependant, ces 10 % de valeurs ont été obtenues avec un dé équilibré, aussi, on risque de rejeter
un dé qui pourrait être équilibré, bien que notre série de 200 lancers ait donné un résultat marginal.

C’est pour cette raison que l’on dira alors, que l’hypothèse :
« le dé est parfaitement équilibré » peut être rejetée avec un risque d’erreur de 10 %.

Pour le dé que nous testons, nous avons trouvé : d 2abs = 0,0179        d 2abs < d 9

L’hypothèse : « le dé est parfaitement équilibré » peut donc être acceptée avec un risque d’erreur de 10 % , ou encore, avec un niveau de confiance de 90 %.

On dit également que : « les données observées sont en adéquation avec un modèle équiréparti », au risque d’erreur de 10 %.

Remarque :

Si le risque est fixé à 5 %, on comparera alors d 2abs avec c95 le 95 ième centile.

 

4/ Test d’adéquation à une loi équirépartie : cas général

Soit une expérience aléatoire à k issues équiprobables

Si l’on répète cette expérience n fois, de façons identiques et indépendantes alors la fréquence d’apparition de chacune des issues tend vers quand n tend vers

est égal à la probabilité de chaque événement élémentaire lors de la réalisation de l’expérience isolée.

Pour une répétition de n expériences identiques et indépendantes à k issues, on appelle somme des carrés des écarts , notée d 2 , le nombre :

 

Remarque :

On notera d 2abs la somme correspondant au résultat observé
que l’on souhaite positionner par rapport aux valeurs de référence.

A l’aide d’un diagramme en boîte ou d’un tableau comportant les effectifs cumulés en %,on détermine la valeur seuil, correspondant au risque d’erreur souhaité ou imposé.
Si d 2abs est inférieure à la valeur seuil, on dit alors que les données observées sont en accord avec un modèle équiréparti ( au risque d’erreur correspondant à celui qui a été fixé ).

Si d 2abs est supérieure à la valeur seuil alors, on décide de rejeter l’hypothèse d’un modèle équiréparti ( au risque d’erreur correspondant à celui qui a été fixé ).