Cours maths Terminale S

Lois continues

Ce module qui clôt le chapitre des probabilités s’intéresse aux lois continues de probabilités.
Le cours commence par une explication sur la différence entre variable aléatoire discrète et variable aléatoire continue.

 

1/ Variable aléatoire discrète - variable alétoire continue

Soit l’expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé six faces.

Qualifions de succès l’événement : « la face supérieure est 6 ».
Cette expérience peut alors être résumée en deux événements qui sont le succès et l’échec.
On peut donc la considérer comme une épreuve de Bernouilli.

Répétons 5 fois cette épreuve de façon indépendante, on obtient alors une expérience de Bernouilli.
Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenus.
Les valeurs que peut prendre X appartiennent à l’ensemble : { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }.
X ne peut pas prendre par exemple la valeur 1,23.

X ne peut prendre que des valeurs isolées, on dit que X est une variable aléatoire discrète.

X suit une loi binomiale, qui sera donc elle aussi qualifiée de loi discrète.

Rappels : ici , et
Considérons un automate muni d’une batterie dont la capacité est de 5 heures.

Soit l’expérience qui consiste à mettre l’automate en marche,
et soit X sa durée de fonctionnement.

L’automate pouvant connaître une panne à tout moment, X peut prendre toute valeur comprise entre 0 et 5.

Autrement dit, dans ce cas, X peut très bien prendre la valeur 1,23.
X est alors qualifiée de variable aléatoire continue.

Et la loi de probabilité suivie par X est qualifiée de loi continue de probabilité.

 

2/ Loi continue : fonction densité de probabilité

Théorème :

Soit X variable aléatoire continue, à valeurs dans l’intervalle I = [ a ; b ],
et soit f fonction définie sur I.

Si f est continue et positive sur I et si alors :
en posant pour tout réel x de I :
on définit une loi de probabilité continue sur I.
f est alors appelée densité de probabilité de p sur I.

Remarques :

1) Si I = [ a ; +∞[ , il faut non plus : mais :
br Autrement dit, il faut :

2) D’un point de vie pratique, pour montrer qu’une fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I, il faut donc vérifier 3 points :
la continuité sur I, la positivité sur I et prouver que l’intégrale de f sur I vaut 1.

Nous démontrerons plus loin que la loi ainsi définie est bien un loi de probabilité, listons pour le moment les propriétés d’une telle loi.

Propriétés :

1° Quel que soit x élément de I :

2° Conséquence : quels que soient x et y éléments de I :

3°

4° Conséquence :Quels que soient x et y de I, avec x

D'après la relation de Chasles

5° Dans le cas où I = [ a ; b ] :
Et dans le cas où I = [ a ; +∞[ :
Autrement dit :

Montrons enfin, que la loi ainsi définie est bien une loi de probabilité.
Autrement dit, montrons que cette loi vérifie les trois axiomes définissant une loi de probabilité :

Axiome n°1 : la probabilité de l’événement certain vaut 1.

L’événement certain est « X appartient à I ».

Or
Donc, le premier axiome est vérifié.

Axiome n°2 : la probabilité de tout événement est comprise entre 0 et 1.

Démontrons que cet axiome est vérifié pour un événement du type [ a ; x ].
F étant la primitive de f sur [ a ; b ] qui s’annule en a.
Donc, F’ = f, or f est positive sur [ a ; b ] donc F est croissante sur [ a ; b ]
Par conséquent, si a Soit : 0 Nous admettrons que cet axiome est également vérifié pour tout type d’événement.

Axiome n°3 : si A et B sont des événements incompatibles alors p(AUB) = p(A) + p(B)

Démontrons que cet axiome est vérifié pour les événements [ a ; x [ et [ x ; y ] avec x et y éléments de I.

Nous admettrons que cet axiome est également vérifié pour tout type d’événement.

La loi définie vérifie les 3 axiomes, il s’agit donc bien d’une loi de probabilité.

 

3/ Cas particulier n°1 : loi uniforme

Définition :

La variable aléatoire continue X suit une loi uniforme sur l’intervalle [ a ; b ]
si sa densité de probabilité est une fonction f constante sur [ a ; b ].

Propriétés :

1° Pour tout x de [ a ; b ] : et donc :

2°

Remarque :
Ces propriétés sont plus à savoir démontrer qu’à apprendre.
Leur démonstration pouvant faire l’objet d’un R.O.C

Démonstration :

f est constante sur [ a ; b ] donc, il existe un réel K tel que pour tout x de [ a ; b ] : f (x) = K.

Exemple d’application :

Considérons l’expérience consistant à choisir un réel entre 5 et 10.
Soit X la variable aléatoire égale à ce réel.

Les réels étant répartis de façon uniforme sur cet intervalle, X suit une loi uniforme.

La densité de probabilité de cette loi est donc une constante K.
Comme

La probabilité, par exemple que le réel choisi soit sur l’intervalle [ 6 ; 9 ] est donc de :

Ce qui, intuitivement est évident.

En effet, l’intervalle [ 6 ; 9 ] est de longueur 3 et l’intervalle total est de longueur 5.

Donc cet intervalle représente les des valeurs possibles.

 

4/ Cas particulier n°2 : loi exponentielle

Définition :

Soit un réel λ strictement positif.

La variable aléatoire continue X suit une loi exponentielle de paramètre λ sur [ 0 ; +∞[
si sa densité de probabilité est la fonction f définie sur [ 0 ; +∞[ par :

Montrons que la loi qui vient d’être définie est bien une loi continue de probabilité :
- f est positive et continue sur [ 0 ; +∞[

Par conséquent :
f ainsi définie est donc bien une densité de probabilité sur [ 0 ; +∞[ et la loi définie est alors effectivement une loi continue de probabilité.

Propriétés :

1° Quel que soit x élément de [ 0 ; +∞[ :

2° Conséquence :

3°

Remarque :

Il ne faut pas apprendre ces résultats par cœur.
La définition d’une loi exponentielle étant souvent rappelée dans les sujets de BAC,l’important est de savoir retrouver ces résultats à partir de la définition.

Propriété de durée de vie sans vieillissement :
Si X est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle alors :
pour tous réels x et h positifs :

Autrement dit, si X correspond, par exemple, à la durée de vie en heures d’un automate,
la probabilité pour qu’il dure au moins h heures de plus, sachant qu’il a déjà duré x heures,
est la même que la probabilité pour qu’il vive au moins h heures.

Ce qui signifie que sa durée de vie, ne dépend pas de son âge.

On dit que la loi exponentielle est à une loi de durée de vie sans vieillissement.

Remarques :

1) La démonstration de cette propriété fait l’objet d’un R.O.C dans l’exercice n° 1 dans votre espace membre
2) Réciproquement, toute loi de durée de vie sans vieillissement est une loi exponentielle.