Cours maths seconde

Orthogonalité dans l'espace

Orthogonalité d’une droite et d’un plan et applications.

Notation

Dans toute la suite, on considère un plan P et une droite d qui coupe le plan P au point I.

 

Orthogonalité d'une droite et d'un plan

Dire que la droite d est orthogonale au plan P signifie que d est perpendiculaire à toute droite de P passant par I.

Pour que la droite d soit orthogonale au plan P, il suffit que d soit orthogonale à deux droites sécantes de P passant par I.

Remarque :

Ce théorème est intéressant, il veut dire que si on a prouvé que d est perpendiculaire à deux droites de P, alors elle est perpendiculaire à toutes les droites de P passant par I !

 

Plans parallèles

   ●  Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
   ● Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.

 

Droites parallèles

   ●  Si deux droites sont parallèles, tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
   ●  Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.

 

Droites orthogonales

Deux droites d et d’ (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales si les parallèles à ces deux droites menées par un point I quelconque sont perpendiculaires.

Exemple :

Dans la figure ci-contre,
les droites (AE) et (BC) sont orthogonales car :

Remarques et propriétés

   ●  Deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement perpendiculaires, elles ne le sont que si elles sont coplanaires.
   ●  Deux droites orthogonales à une même troisième ne sont pas nécessairement parallèles.
   ●  Si deux droites sont parallèles, toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

Lien avec la géométrie plane

Règle :

Dans un plan de l’espace, toutes les propriétés de la géométrie plane s’appliquent.

Remarque :

Cette propriété est intéressante car, dès que l’on se place dans un plan de l’espace, on peut utiliser tous les théorèmes connus (Pythagore, Thalès, trigonométrie, …).