Cours maths 5ème

Le parallélogramme

Après avoir défini ce qu’est un parallélogramme, des activités guidées permettront de découvrir les propriétés relatives aux côtés opposés, aux diagonales, aux angles. Il sera ensuite expliqué comment montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme à partir de ses côtés ou de ses diagonales.

 

Définition d'un parallélogramme :

d et d’ sont deux droites parallèles.
d1 et d2 sont aussi deux droites parallèles.

A, B, C et D sont les points d’intersection déterminés par ces quatre droites.

Le quadrilatère ABCD est appelé parallélogramme.

Définition

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles.

À partir d’une symétrie …

Dans la figure ci-contre, le point C est le symétrique du point A par rapport au point O, et D est le symétrique de B par rapport à O.

La droite (AB) a donc pour symétrique …… la droite (CD).

La droite (BC) a donc pour symétrique …… la droite (DA).

Les droites (AB) et (CD) sont …… parallèles.

Les droites (BC) et (AD) sont …… parallèles.

Un quadrilatère particulier et ses côtés…

Dans la figure ci-contre, (AB) // (CD) et (BC) // (AD).

Le quadrilatère ABCD a donc ses côtés opposés parallèles.

ABCD est donc un …… parallélogramme.

Dans la symétrie de centre O, [AB] a pour symétrique [CD] et [AD] a pour symétrique [BC]. On a donc les égalités suivantes :

AB = CD et AD = BC

Propriété 1 :
Dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur.

 

Un parallélogramme et ses diagonales

Dans la figure ci-contre, ABCD est un parallélogramme.

Le point A a pour symétrique par rapport à O le point C.

O est donc le milieu du segment [AC].

Le point B a pour symétrique par rapport à O le point D.

O est donc le milieu du segment [BD]

Propriété 2 :
Dans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu. Le milieu des diagonales est le centre de symétrie du parallélogramme.

 

Un parallélogramme et ses angles opposés

Dans la figure ci-contre, ABCD est un parallélogramme.

Dans la symétrie de centre O :

Propriété 3 :
Dans un parallélogramme, les angles opposés ont la même mesure.

 

Un parallélogramme et ses angles consécutifs

Dans la symétrie de centre O :

Propriété 4 :
Dans un parallélogramme, les angles consécutifs sont supplémentaires.

 

Reconnaître un parallélogramme

Le quadrilatère ABCD a ses côtés opposés parallèles.

Propriété 5 :
Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Le quadrilatère ABCD a ses diagonales qui ont le même milieu O.
O est le milieu de [AC] donc A et C sont symétriques par rapport à O.
O est le milieu de [BD] donc B et D sont symétriques par rapport à O.


Dans la symétrie de centre O :
(AB) et (CD) sont symétriques donc parallèles.
(AD) et (BC) sont symétriques donc parallèles.

ABCD a ses côtés opposés parallèles, c’est donc un parallélogramme.

Propriété 6 :
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.