Cours maths 3ème

Probabilités - introduction

Ce cours a pour objectifs de faire approcher la notion de probabilités et de faire découvrir et travailler le vocabulaire à partir d’exemples concrets.

 

Coïncidence ….

Marc est né le 30 juin. Son petit frère est aussi né un 30 juin. Quelle coïncidence !
A votre avis, quelle était la chance qu’il naisse le même jour ?

 

Il y a 365 jours dans une année, son petit frère avait donc une chance sur 365 de naître le 30 juin, soit 1 chance sur 365 de naître le même jour.

Combien de personnes faut-il réunir pour être sur qu’au moins 2 personnes aient leurs anniversaires le même jour ?

Il y a 365 jours dans une année (non bissextile), il faut donc réunir au moins 366 personnes.

Combien de personnes faut-il réunir pour qu’il y ait une chance sur deux que deux d’entre elles aient leurs anniversaires le même jour ?

On est tenté de dire 183 (366 : 2 = 183)… mais non, ce n’est pas une situation de proportionnalité. Pour répondre à cette question, les mathématiciens ont recours aux probabilités. On peut alors montrer qu’il suffit de 23 personnes.

 

Avec un dé … issue et probabilité

On lance un dé et on note le nombre obtenu.
On suppose que le dé est parfaitement équilibré, c’est-à-dire que chaque face a autant de chance de sortir.

 

1) Combien y-a-t-il de possibilités ?

Il y a 6 faces, donc 6 possibilités.

 

En probabilité, chaque résultat possible est appelé issue. Il y a ainsi 6 issues possibles.

 

2) Combien de chance a-t-on d’obtenir 1 ?

Nous avons 1 chance sur 6 d’obtenir 1.

 

Nous dirons que la probabilité d’obtenir 1 est 1/6, et nous noterons :

 

Avec un dé … événement et probabilité

On appelle événement un ensemble d’issues.
Par exemple, on note A l’événement : « le nombre obtenu est pair ».

1) Combien y-a-t-il d’issues réalisant l’événement A ?
Il y a 3 issues réalisant cet événement : « le nombre obtenu est 2 », « le nombre obtenu est 4 » et « le nombre obtenu est 6 ».

2) Combien a-t-on de chance de réaliser l’événement A ?
Nous avons 3 chances sur 6 d’obtenir un nombre pair, soit une chance sur deux de réaliser l’événement A.

3) Soit B l’événement : « obtenir un multiple de 3 ».
a) Combien l’événement B a-t-il d’issues favorables ?
L’événement B a deux issues favorables : « le nombre obtenu est 3 » et « le nombre obtenu est 6 ».

b) Quelle est la probabilité de réaliser B ?
Nous avons 2 chances sur 6 de réaliser B. On a donc : p(B) = 2/6 = 1/3

 

Avec un dé … événement contraire

On considère l’événement A : « Le nombre obtenu est pair ».
A votre avis, quel est l’événement contraire de l’événement A ?

 

L’événement contraire de l’événement A est : « Le nombre obtenu est impair ».

 

L’événement contraire de l’événement A, que l’on désigne par « non A » est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.

 

Exemple :
On considère l’événement C : « On obtient un nombre inférieur à 5 ». Quel est l’événement contraire non C ?
L’événement contraire de l’événement C est : « Le nombre obtenu est supérieur ou égal à 5 ».

 

Avec un dé … événements incompatibles

On considère l’événement A : « Le nombre obtenu est pair » et l’événement B : « Le nombre obtenu est un multiple de 3 ».
Y-a-il une issue qui réalise ces deux événements?
Oui, l’issue : « le nombre obtenu est 6 réalise ces deux événements ».

On considère maintenant l’événement B : « Le nombre obtenu est un multiple de 3 » et l’événement D : « Le nombre obtenu est inférieur à 2 ».
Y-a-t-il une issue qui réalise ces deux événements?
Non, aucune issue ne réalise ces deux événements.
On dit que ces événements sont incompatibles.

 

Deux événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps.

 

Vocabulaire utilisé en probabilité

Définitions :

Un phénomène dont on ne peut pas prévoir de façon certaine le résultat, ou l’issue, est appelé une expérience aléatoire.

On appelle événement un ensemble d’issues. Un événement est réalisé, lorsque l’une des issues qui le composent est réalisée.

 

Exemples :

Lancer un dé est une expérience aléatoire.
« Obtenir un 6 » est une issue possible.
« Obtenir un nombre pair » est un événement.

Lancer une pièce de monnaie est aussi une expérience aléatoire.
« Obtenir pile » est une issue possible

 

Événement contraire, événements incompatibles

Définitions :

L’événement contraire de l’événement A, que l’on désigne par « non A » est celui qui se réalise lorsque A ne se réalise pas.

Deux événements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps.

 

Probabilité : définition

Définitions :

Quand une expérience est réalisée un très grand nombre de fois, la fréquence de réalisation d’un événement se rapproche d’une valeur théorique : la probabilité de cet événement.

 

Exemple :

Si on lance une pièce de monnaie, la probabilité d’obtenir pile est ½.
Si toutes les issues d’une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit que les événements sont équiprobables, ou qu’il y a équiprobabilité

 

Probabilité : calcul et propriétés

Comment calculer une probabilité ?
Dans les situations d’équiprobabilité, on calcul la probabilité d’un événement grâce au quotient :

 

Conséquences :

♦ La probabilité d’un événement est toujours comprise entre 0 et 1.
♦ La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire est 1.
♦ La probabilité d’un événement qui se produit nécessairement (événement certain) est 1
♦ La probabilité d’un événement qui ne peut pas se produire (événement impossible) est 0.