Cours maths 5ème

Repérage sur la droite et dans le plan

Sur la droite graduée: ce cours mettra en place la notion d’abscisse d’un point et montrera comment lire l’abscisse d’un point sur cette droite, placer un point d’abscisse donnée et déterminer la distance de deux points de cette droite dont on connaît les abscisses. Dans le plan, ce cours définira ensuite les notions d’abscisse, d’ordonnée, de coordonnées d’un point ainsi que la notion d’origine des graduations. Enfin, il montrera comment placer un point de coordonnées données et à lire les coordonnées d’un point donné.

 

Repérage d'un point sur une droite graduée

Droite graduée

Soit (d) une droite du plan.

On choisit un point A sur cette droite.

On choisit un sens de parcours sur cette droite.

On choisit une unité de longueur

On la reporte sur la droite à partir du point A, de chaque côté de A.

La droite (d) ainsi définie est appelée : droite graduée.

L’extrémité fléchée indique le sens de parcours de la droite.

L’ unité de longueur choisie et reportée tout au long de la droite permet de définir une graduation de la droite.

Le point A de la droite à partir duquel est reportée, de chaque côté, l’unité de longueur choisie est appelé l’origine de la graduation.

Droite graduée : définition

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi :

   ● Un point particulier : l’origine de la graduation.
   ● Un sens selon lequel on parcourt la droite.
   ● Une unité de longueur reportée régulièrement tout au long de la droite de chaque côté de l’origine.

Point origine et point unité

Sur la droite (d) munie d’une graduation, on place le point I, situé à 1 unité de l’origine O, dans le sens de parcours de la droite. I sera parfois appelé « point unité »

On décide alors d’associer un nombre à chacun des 2 points O et I.

0 pour le point O
1 pour le point I

Ces deux points étant ainsi fixés, on va associer à chaque point de la droite une valeur.

Abscisse d'un point de la droite

La droite (d) est munie d’une graduation d’origine O et de point unité I.

À chaque point de la droite on va associer un nombre relatif :

Positif si le point est sur la demi-droite d’origine O contenant I.
Négatif si le point est sur la demi droite d’origine O ne contenant pas I.

Le nombre relatif associé à chaque point de la droite graduée est appelé : abscisse du point.

Lire l'abscisse d'un point

La droite (d) est munie d’une graduation d’origine O et de point unité I.

On a placé sur la droite les points A, B et C.

Le point A est avant O ; son abscisse est négative.

   ● Entre A et O, il y a 5 unités.
   ● L’abscisse de A est (- 5).

Le point B est après O ; son abscisse est positive.

   ● Entre B et O, il y a 3 unités.
   ● L’abscisse de B est (3).

Le point C est avant O ; son abscisse est négative.

   ● Entre C et O, il y a 2 unités.
   ● L’abscisse de C est (- 2).

Distance à zéro

La droite (d) est munie d’une graduation d’origine O et de point unité I.

On a placé sur la droite les points A (-5), B (3) et C (-2).

   ● La distance à zéro du nombre -5 est la longueur du segment [OA], c’est à dire OA = 5
   ● La distance à zéro du nombre 3 est la longueur du segment [OB], c’est à dire OB = 3
   ● La distance à zéro du nombre -2 est la longueur du segment [OC], c’est à dire OC = 2

 

Repérage d'un point dans le plan

Repère du plan : définition

Un repère orthogonal du plan est constitué de deux droites graduées perpendiculaires ayant la même origine.

 

Coordonnées d'un point du plan

Dans le plan, on a choisi un repère orthogonal d’origine O.

   ● Le premier nombre est l’abscisse du point.
   ● Le deuxième nombre est l’ordonnée du point.

Chaque point du plan est défini par la donnée de deux nombres relatifs.
Les deux nombres relatifs ( abscisse ; ordonnée ) toujours donnés dans cet ordre, définissent les coordonnées du point.

 

Repérage d'un point du plan

Dans le plan muni du repère orthogonal d’origine O, on donne le point A(4;-2)

   ● Le premier nombre, 4, est l’abscisse du point.
   ● Le deuxième nombre, -2, est l’ordonnée du point.

 

Lecture des coordonnées d'un point du plan

On veut déterminer les coordonnées du point M.

   ● Son abscisse est -5.
   ● Son ordonnée est 3.

Pour trouver son abscisse, on trace une parallèle à l’axe des ordonnées ; on lit alors l’abscisse du point à l’ intersection avec l’axe horizontal.

Pour trouver son ordonnée, on trace une parallèle à l’axe des abscisses ; on lit alors l’ordonnée du point à l’ intersection avec l’axe vertical.

Les coordonnées de M :
(-5 ; 3)

Distance de deux points sur une droite graduée

Distance de 2 points sur la droite graduée

La droite (d) est munie d’une graduation d’origine O et de point unité I.

On a placé sur la droite les points A (-5), B (3) et C (-2).

Définition : La distance de deux points sur une droite graduée est égale à la différence de leurs abscisses, en enlevant toujours la plus petite à la plus grande.
   ● La distance IB est : IB = 3 – 1 = 2
   ● La distance AB est : AB = 3 – (– 5) = 3 + 5 = 8
   ● La distance AC est : AC = (– 2) – (– 5) = (– 2) + 5 = 3