Cours maths seconde

Repères et coordonnées

Repérage dans le plan.
Coordonnées de points et de vecteurs.
Formule de la distance et du milieu.
Changement de repère.

 

Repères du plan

Si O, I et J sont trois points non alignés du plan, alors est un repère du plan d’origine O.
On le note .

► La droite (OI) est l’axe des abscisses.
► La droite (OJ) est l’axe des ordonnées.

 

Repère orthogonal et orthonormal

Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, alors est un repère orthogonal.

Si les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, et qu’en plus OI = OJ alors est un repère orthonormal (ou orthonormé).

 

Exemple

Sur une carte, on peut repérer un point par sa latitude et sa longitude.

 

Coordonnées d'un vecteur 1

Soient . Alors les coordonnées du vecteur AB se calculent avec la formule suivante :

Exemple:

Si A(2 ; -1) et B(3 ; 1) ; alors :

 

Coordonnées d'un vecteur 2

Si M (x ; y) et si O est l'origine du repère, alors :

Exemple:

Si M (2 ; 3) alors :

 

Coordonnées de la somme et du produit

Exemple:

 

Coordonnées et égalité

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées respectives sont égales.

Exemple:

Trouver les coordonnées du point M(x ; y)

 

Formule de la distance

Si le repère est orthonormé alors la distance entre les points A(XA ; YA) et B(XB ; YB) est donné par la formule :

Exemple

Dans un repère orthonormé, on donne les points suivants :

B(-1 ; 3) et C(2 ; -1)

Alors, la distance BC vaut :

 

Coordonnées du milieu

Si I est le milieu du segment [AB] ; alors, les coordonnées du point I sont données par la formule suivante :

Exemple :

Soient K(4 ; –2), D(–1 ; 3) et M le milieu de [KD] dans une repère orthonormé.

Calculer les coordonées du point M.

Les coordonnées de M sont :

Les coordonnées de M sont :

 

Changement de repère

Dans un repère , on considère les points A, B, C et M.

- Si A, B et C ne sont pas alignés, alors ils définissent un autre repère .

- Si on veut les coordonnées du point M dans le nouveau repère il faut exprimer le vecteur en fonction des vecteurs et .

Exemple :

Si alors, dans le repère on a :