Cours maths Terminale S

Similitudes indirectes

Après de brefs rappels concernant les similitudes en général, on choisit dans ce module de s’intéresser exclusivement au cas des similitudes indirectes.

 

1/ Rappels

On appelle similitude ( plane ) toute transformation du plan qui conserve les rapports de distances.

Théorème :

Une transformation du plan est une similitude
si et seulement si
elle multiplie les distances par un réel k, strictement positif.

Ce réel k est appelé le rapport de la similitude.


Une similitude de rapport 1 conserve les distances, elle est appelée isométrie.

L’identité, les translations, les rotations, les réflexions sont des isométries.
La symétrie centrale est un cas particulier de rotation, c’est donc une isométrie.

Les similitudes conservent les angles géométriques.

On appelle similitude directe toute similitude qui conserve les angles orientés.
Une isométrie directe est appelée un déplacement.

Les homothéties sont des similitudes directes.
Tout déplacement est soit une translation, soit une rotation d’angle non nul


On appelle similitude indirecte toute similitude qui transforme tout angle en son opposé.
Une isométrie indirecte est appelée un anti-déplacement.

Les réflexions sont des anti-déplacements.

Attention ! Tout anti-déplacement n’est pas forcément une réflexion.

Remarques :

•&nbsp L’axe d’une réflexion constitue l’ensemble de ses points invariants.

•&nbsp Toute réflexion est involutive, c’est à dire qu’elle a pour réciproque elle-même :

•&nbsp Si on note la réflexion d’axe Δ :

Donc :

Théorèmes :

La composée d’une similitude de rapport k et d’une similitude de rapport k’
est une similitude de rapport : k x k’

La réciproque d’une similitude de rapport k est une similitude de rapport

Par conséquent :
La réciproque d’une isométrie est une isométrie.
•&nbsp La composée de deux similitudes directes ou de deux similitudes indirectes est une similitude directe.
•&nbsp La composée d’une similitude directe et d’une similitude indirecte est une similitude indirecte.
•&nbsp La réciproque d’une similitude directe est une similitude directe.
•&nbsp La réciproque d’une similitude indirecte est une similitude indirecte.

 

2/ Décomposition d’une similitude indirecte

Théorème :

Toute similitude indirecte est la composée d’une similitude directe et d’une réflexion.

Démonstration :

Soit s similitude indirecte et soit (D) droite quelconque du plan.
Notons s(D) la réflexion d’axe (D).
s et s(D) sont des similitudes indirectes donc leur composée est une similitude directe s’.

* Nous avons donc : d’où :

* Or, toute réflexion est sa propre réciproque donc

* Par conséquent, s s’écrit : , avec s’ similitude directe.

Remarque :

•&nbsp Cette décomposition n’est pas unique.
•&nbsp En effet, le choix d’une autre droite comme axe de la réflexion donne une autre décomposition.

 

3/ Écriture complexe d’une similitude indirecte

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé de sens direct

Théorème :

Soit s transformation du plan.
Si s est une similitude indirecte de rapport k
alors s admet une écriture complexe de la forme : avec lal = k

Démonstration :

Soit s similitude indirecte de rapport k.

D’après le théorème précédent, quelle que soit la droite (D), s peut s’écrire : où s’ désigne une similitude directe.

Prenons pour (D) l’axe des abscisses, alors s(D) a pour écriture complexe :
De plus, d’après un précédent module, s’ similitude directe a une écriture complexe de la forme : z' = az + b avec a non nul.

En outre, s’ a pour rapport lal

L’écriture de est donc :

De plus, le rapport de la composée est égal au produit des rapports : k = lal x 1 = lal

Réciproque :

Soient a et b nombre s complexes.
Toute transformation s admettant une écriture de la forme : avec a ≠ 0 est une similitude indirecte de rapport k = lal

Démonstration :

Soient M et N points quelconques du plan d’images respectives M’ et N ’ par s.

Alors :

D’où :

Donc : , d’où : M'N' = lal x MN

Et a ≠ 0, donc f est une similitude indirecte de rapport k = lal
Rajoutons deux points P et Q d’images respectives P’ et Q’.

Nous avons comme précédemment :

s est une similitude qui transforme tout angle orienté en son opposé, elle est donc indirecte.

En résumé :

s, transformation du plan, est une similitude indirecte
si et seulement si
s a une écriture complexe de la forme : avec a ≠ 0
Le rapport k de s vaut alors : lal

 

4/ Anti-déplacements et points invariants

Rappel des résultats vus dans le module de définition des similitudes :
On appelle point fixe ou point invariant par une transformation, tout point qui a pour image lui-même.

Théorème :

Soit s une similitude.
s possède trois points invariants non alignés si et seulement si s est l’identité.

On dira également que toute similitude « fixant » trois points non alignés est l’identité.

Théorème :

Si deux points distincts A et B sont invariants par une similitude s, alors :
soit s est l’identité, soit s est la réflexion d’axe (AB).

Théorème :

Un anti-déplacement avec au moins un point invariant est une réflexion.

Démonstration :

Soit s anti-déplacement possédant un point invariant A.
s ne peut être l’identité car l’identité est un déplacement.
Par conséquent, il existe au moins un point M différent de A qui n’est pas invariant par s.
Soit M’ = s(M).
Comme A = s(A) et que s est une isométrie alors AM’ = AM.
Donc A appartient à la médiatrice Δ de [MM’], qui existe car M et M’ sont distincts.

Notons S_Δ, la réflexion d’axe Δ et

donc est une similitude qui possède au moins deux points invariants distincts.
est soit l’identité soit une réflexion, or par composition est directe.

Donc , d’où :

 

5/ Propriétés géométriques

Soit s similitude de rapport k :
•&nbsp s conserve l’alignement, donc :
- l’image d’une droite est une droite.
- l’image du segment [AB] est le segment [s(A)s(B)] de longueur kAB.
- s conserve les intersections.

•&nbsp s conserve, de plus, par définition, les rapports de distances donc :
- s conserve le milieu et plus généralement le barycentre.

•&nbsp s conserve les angles géométriques, donc :
- s conserve l’orthogonalité et le parallélisme.

•&nbsp L’image du cercle de centre O et de rayon r est le cercle de centre s(O) et de rayon kr.

•&nbsp s multiplie les aires par k²