Suites adjacentes

2 / Suites adjacentes : exemple

Soient les suites définies pour tout n non nul par : et

Montrons qu’elles sont adjacentes en justifiant qu’elles vérifient les 3 conditions.

 

Les 3 conditions sont vérifiées donc (un) et (vn) sont adjacentes.

 

Illustration graphique

3/ Théorème de convergence des suites adjacentes

Théorème de convergence des suites adjacentes :
* Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont la même limite.

Démonstration
Cette démonstration faisant souvent l’objet d’un R.O.C nous allons opter pour quelque chose d’un peu original : nous allons la réaliser en jouant le jeu du R.O.C posé au BAC de France Métropolitaine en Juin 2005.

 

En voici l’énoncé :

 

On suppose connus les résultats suivants :
Deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque l’une est croissante, l’autre décroissante un et vn tend vers 0 quand n tend vers
Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) décroissante. Alors pour tout n : un vn
Toute suite croissante et majorée est convergente; toute suite décroissante et minorée est convergente.

 

Démontrer alors la propositions suivante :
"Deux suites adjecentes sont convergentes et elles ont la même limite"

 

Plaçons nous dans le cas où les deux suites sont adjacentes et telles que : (un) et (vn)

 

Première étape : Montrons que (un) converge.
D’après 2 pour tout n : un vn

Or, (vn) donc pour tout n : vn v0
D’où : pour tout n : un v0
un est croissante et majorée donc d’après 3 elle converge..

 

Deuxième étape : Montrons que (vn) converge.
D’après 2 pour tout n : vn un

Or, (un) donc pour tout n : un u0
D’où : pour tout n : un u0
(vn) est décroissante et minorée donc d’après 3 elle converge.

 

Troisième étape :
montrons que les suites convergent vers la même limite.
Soit = lim un et '= lim un
La limite de la différence étant égale à la différence des limites on a : lim (un - vn) = lim (un - lim vn) = 0
Or d’après 1 : lim (un - vn) = 0
D’où : - ' = 0 Soit : = '
Par conséquent : lim un = lim vn

 

Conclusion : « Deux suites adjacentes convergent et ont la même limite. »

 

Remarque :
Dans ce R.O.C , la démonstration élude l’une des véritables difficultés qui est de montrer que :

 

2 Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) décroissante alors pour tout n : un vn

 

Il existe plusieurs démonstrations de cette propriété, une assez technique s’appuyant sur la définition de la convergence et une autre un peu plus simple dont voici le détail :

 

Définissons la suite (wn) par : wn = un - vn
L’objectif étant donc de montrer que pour tout n : wn > 0

 

Première étape : montrons que cette suite est décroissante

 

 

Deuxième étape : montrons que pour tout n : wn > 0
Pour tout nombre k entier, comme (wn) Quel que soit n > k : wn wk

 

D’où par passage à la limite :

Soit : lim wn wk
Or : lim (vn un)=0 Donc lim wn=0
Par conséquent : pour tout k entier : 0 wk
Donc, pour tout n : wn > 0
Conclusion : pour tout n : un vn