Cours maths 1ère S

Suites arithmetiques et géométriques

Suites arithmetiques et géométriques

 

Les suites

Les suites arithmétiques et les suites géométriques sont des suites particulières qui servent à modéliser bon nombre de situations de la vie courante.

Par exemple, les suites arithmétiques permettent de décrire l’amortissement des matériels informatiques achetés par une entreprise .

Les placements financiers avec taux d’intérêts ou les prêts bancaires sont modélisés avec des suites géométriques.

 

Suites arithmétiques

Définition :

Une suite est une suite arithmétique si et seulement si il existe un nombre réel r tel que, pour tout on ait

Si la suite est une suite arithmétique, le nombre réel r s’appelle la raison de cette suite.

Autrement dit, une suite est arithmétique si et seulement si chaque terme s’obtient en ajoutant au terme précédent un nombre réel r, toujours le même.

U_n suite arithmétique ?

• Quelques points importants à retenir

Pour montrer qu’une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer qu’une suite est une suite arithmétique, il faut donc montrer qu’il existe un nombre réel r indépendant de n tel que, pour tout ,

Autrement dit, il faut montrer que la différence est constante :

Pour montrer qu’une suite n’est pas une suite arithmétique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, la différence n’est pas constante.

• Attention !

Pour montrer qu’une suite est une suite arithmétique, il ne suffit pas de vérifier que la différence est constante sur les premiers termes. Il faut le montrer pour tout entier n.

Exemples

1) La suite de tous les nombres entiers naturels est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1 :

2) La suite de tous les nombres entiers naturels pairs est une suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2 :

 

Expression du terme général en fonction de n

Remarque

Soit une suite arithmétique de raison r. Puisque, pour tout

le terme général est de la forme u_n = ƒ(n)

ou ƒ est la fonction définie par ƒ(x) = u₀ + xr.

On peut donc calculer directement n'importe quel terme la suite.

De plus, comme la fonction ƒ est une fonction affine, une suite arithmétique de raison r est représentée dans le plan par des points alignés sur une droite de coefficient directeur r.

Représentation de la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 2 :

0, 2, 4, 6, 8......

 

Sens de variation d'une suite arithmétique

Soit une suite arithmétique de raison r. Alors on a, pour tout

On en déduit :
  • Si r > 0, la suite est strictement croissante.
  • Si r   • Si r = 0, la suite est constante.

 

Somme des termes d'une suite arithmétique

Exemple fondamental

Calcul de la somme S_n = 1 + 2 +...+ n

Avant de calculer cette somme rappelons l'anecdote relative au calcul de S100 par Gauss.

Carl Friedrich Gauss (30 Avril 1777 à Brunswick – 23 Février 1855 à Göttingen) fut non seulement un illustre mathématicien (il était surnommé « le Prince des mathématiques » ) mais aussi un physicien (il fit de nombreux travaux et publications en électricité, optique et magnétisme, théorie du potentiel) et un astronome réputé.

Un jour de 1786, à l’école primaire, le professeur qui voulait occuper ses élèves pendant un moment, leur demanda d’écrire tous les nombres de 1 à 100 et d’en calculer la somme.

Très peu de temps après, le jeune Carl Friedrich Gauss qui n’était âgé que de 9 ans alla le voir et lui montra sa réponse, 5050, qui était exacte.

Son professeur, stupéfait, lui demanda comment il avait fait pour trouver cette réponse aussi rapidement.

 

Suites géométriques

Définition :

Soit est une suite géométrique si et seulement s'il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout , on ait

Si la suite est une suite géométrique, le nombre q s'appelle la raison de cette suite.

U_n suite géométrique ?

Autrement dit, une suite est géométrique si et seulement si chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un nombre réel q, toujours le même.

Pour montrer qu’une suite est géométrique, il faut donc montrer qu’il existe un nombre réel non nul q indépendant de n tel que, pour tout

Autrement dit, il faut montrer que le quotient est constant :

Pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique, il suffit de montrer que, sur les premiers termes par exemple, le quotient n’est pas constant.

Suite géométrique

• Attention !

Pour montrer qu’une suite est géométrique, il ne suffit pas de vérifier que, le quotient est constant sur les premiers termes de la suite.

Il faut le montrer pout tout entier n.

Exemple

 

Expression du terme général en fonction de n

On a la propriété suivante :

Propriété :

Soit une suite géométrique de raison q

Alors,

Pour tout
Pour tout
Pour tout couple (n,p) d'entiers naturels,

 

Signe du terme général d'une suite géométrique

Soit une suite géométrique de raison q, où q ≠ 0.

On a u_n = u₀ x qn.

  • Si q > 0, alors un, est du signe de u₀.
  • Si q

Les termes de la suite sont, dans ce cas, alternativement positifs et négatifs : u_n est du signe de u₀ si n est pair et un est de signe opposé à u₀ si n est impair.

 

Sens de variation d'une suite géométrique

Soit une suite géométrique de raison q, où q ≠ 0.

Nous avons vu que si q n'est donc pas monotone.
Supposons donc que q > 0.

Comme on a :

  &bullet Si q > 1 et un > 0, c'est à dire u0 > 0, alors la suite est strictement croissante.
  &bullet Si q > 1 et un est strictement décroissante.
  &bullet Si 0 0, c'est à dire u0 > 0, alors la suite est strictement décroissante.
  &bullet Si 0 est strictement croissante.

Remarque :

Ces résultats généraux sur le sens de variation d’une suite géométrique ne sont pas à apprendre mais il faut savoir les retrouver dans l’étude de cas particuliers.

 

Somme des termes d'une suite géométrique