Cours maths seconde

Valeur absolue

•&nbsp Valeur absolue d’un réel
•&nbsp Distance entre deux points ou deux nombres
•&nbsp Equations et inéquations avec valeur absolue

Definition

La valeur absolue d’un nombre réel est égale à :
⇒ Ce nombre si celui-ci est positif.>
⇒ L’opposé de ce nombre si celui-ci est négatif.

Notation

La valeur absolue d’un nombre réel x est noté | x | .
Avec les notations mathématiques :

Exemples

•&nbsp | 3 | = 3     car 3 est positif.

•&nbsp | - 5 | = - ( - 5) = 5     car - 5 est négatif.

•&nbsp | - 0,241 | = - ( - 0,241) = 0,241     car - 0,241 est négatif.

•&nbsp | π - 3 | = π - 3     car π - 3 est positif.

•&nbsp | π - 5 | = - ( π - 5 ) = - π + 5     car π - 5 est négatif.

 

Premières propriétés et remarques

Propriétés

•&nbsp La valeur absolue d’un nombre réel est toujours positive.
•&nbsp Pour tout nombre x réel, on a : | - x | = | x |

Remarques

Sur la calculatrice, la valeur absolue s’obtient grâce à la touche « abs ».
La valeur absolue d’un entier est la valeur de cet entier sans le signe.

   

 

Distance entre deux points

Théorème

Soient A et B deux points d’une droite graduée d’abscisses respectives xA et xB.
Alors, la distance entre les points A et B est égale à :

Exemples

CD = | xD – xC | = | 4 – 3 | = | 1 | = 1
AB = | xB – xA | = | –3 –1 | = | – 4 | = 4
BC = | xC – xB | = | 3 – (–3) | = | 6 | = 6
OB = | xB – xO | = | –3–0 | = | –3 | = 3

 

Distance entre deux nombres

Soient x et y des nombres réels :
La distance entre x et y notée d(x;y) est le nombre réel | y - x |.

Exemples

La distance entre 4 et -3 est :

La distance entre -1 et 2 est :

Remarque

| x | est la distance entre x et O.

 

Equations de la forme | x - a | = b avec b positif ou nul

Méthode

La résolution d’une équation du type | x - a | = b avec b positif ou nul se fait en trois étapes :
L’interprétation.
La réalisation d’un schéma.
L’écriture des solutions.

Remarque

Si b est négatif alors l’équation | x - a | = b n’a aucune solution puisqu’une valeur absolue est toujours positive !

Exemple

Résoudre dans l’équation | x - 2 | = 3 .

Interprétation : | x - 2 | est la distance entre x et 2.
Résoudre | x - 2 | = 3 c’est chercher les réels x qui sont à une distance égale à 3 du réel 2.

Schéma

Solutions :Les solutions de l’équation | x - 2 | = 3 sont -1 et 5.

 

Inéquations de la forme | x - a | inférieur ou égal à b avec b positif ou nul

Méthode

La résolution d’une équation du type se fait en trois étapes :
L’interprétation.
La réalisation d’un schéma.
L’écriture des solutions.

Remarque

Si alors l’inéquation n’a aucune solution puisqu’une valeur absolue est toujours positive !

Exemple

Résoudre dans l’inéquation .

Interprétation : | x - 2 | est la distance entre x et 2.
Résoudre c’est chercher les réels x dont la distance à 2 est inférieure ou égale à 3.

Schéma

Solutions :L'ensemble solution de l’inéquation est l'intervalle .