Cours maths 1ère S

Vecteurs de l'espace

Vecteurs de l'espace

 

Notion de vecteur de l’espace

La notion de vecteur du plan se généralise sans difficulté à l’espace.

Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Le vecteur est parfaitement déterminé par :
- sa direction : celle de la droite (AB),
- son sens : de A vers B,
- sa norme : la distance AB aussi notée

Les vecteurs de l’espace ont les mêmes propriétés que les vecteurs du plan.

 

Vecteurs égaux

Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls et sont égaux.
- si et seulement si ils ont même direction, même sens et même longueur,
- si et seulement si ABCD est un parallélogramme.

 

Vecteurs opposés

Soient A,B,C et D quatre points de l’espace.
Les deux vecteurs non nuls et sont opposés si et seulement si ils ont même direction, des sens opposés et même norme.

Les deux vecteurs et sont opposés si et seulement si les vecteurs et sont égaux.

 

Vecteurs coplanaires

Des vecteurs sont coplanaires si et seulement en traçant leurs représentants à partir d’un même point A, les extrémités de ces représentants sont coplanaires avec A.

Les vecteurs , et sont coplanaires.
Les vecteurs , et ne sont pas coplanaires.

Deux vecteurs sont toujours coplanaires.

 

Somme de deux vecteurs

Soient et deux vecteurs de l’espace.
Comme les vecteurs et sont coplanaires, on peut obtenir la somme de ces deux vecteurs en utilisant les deux méthodes utilisées dans le plan :
- la règle du parallélogramme,
- la relation de Chasles.

 

Règle du parallélogramme

où D est le point tel que ABDC est un parallélogramme.

 

Relation de Chasles

 

Produit d’un vecteur par un scalaire

Soit un vecteur de l’espace et soit k un nombre réel.
On définit le vecteur de la façon suivante :

-> Si k=0 alors

-> Si alors

-> Si et alors est le vecteur qui a :

- même direction que .

- même sens que si et sens contraire à celui de si

pour norme celle de: multipliée par |k| :

 

Produit d'un vecteur par un scalaire

 

Calcul vectoriel

L’addition des vecteurs et la multiplication d’un vecteur par un scalaire dans l’espace ont les mêmes propriétés que dans le plan.

Soient et deux vecteurs de l’espace et k et k’ deux nombres réels.
Alors

 

Vecteurs colinéaires

Deux vecteurs de l’espace sont colinéaires si et seulement si l’un des deux est le produit de l’autre par un scalaire.

et colinéaires

Les vecteurs et sont colinéaires.

Les vecteurs et sont colinéaires.

 

Vecteurs colinéaires

1) Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur car

2) Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils ont la même direction.

 

Vecteurs colinéaires et droites

Soient A et B deux points distincts de l’espace.
Un point M de l’espace appartient à la droite (AB) si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

On a donc :
le point M appartient à la droite (AB) si et seulement si
il existe un nombre réel t tel que :

 

 

Vecteurs colinéaires et droites

Soient A, B, C et D quatre points de l’espace. Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

Les vecteurs et sont colinéaires.
Les deux droites (AB) et (CD) sont parallèles.

 

Plans de l’espace

Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace.
Un point M de l’espace appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux nombres réels x et y tels que

 

Repères de l’espace

Un repère de l’espace est un quadruplet formé
- d’un point O appelé origine du repère,
- d’un triplet de vecteurs non coplanaires.

Si les vecteurs sont deux à deux orthogonaux, le repère est dit orthogonal.
Si de plus on a
On dit que le repère est orthonormé.

 

Coordonnées d’un point de l’espace

Soit un repère de l’espace. Pour tout point M de l’espace il existe un unique triplet (x,y,z) de nombres réels tels que:

s’appelle l’abscisse de M
s’appelle l’ordonnée de M
s’appelle la côte de M

(x,y,z) sont les coordonnées du point M dans le repère

 

Coordonnées d’un point de l’espace

 

Plans de coordonnées

Un point M de coordonnées (x,y,z) dans le repère de l’espace appartient au plan (xOy) si et seulement si z=0

z=0 est une équation du plan (xOy).

De même, le plan (yOz) a pour équation x=0. Le plan (xOz) a pour équation y=0. Les trois plans (xOy) , (yOz) et (xOz) sont les trois plans coordonnées.

 

Règles de calcul

Si dans un repère on a et ,alors a pour coordonnées et, pour tout nombre réel ,& a pour coordonnées

 

Règles de calcul

Si A et B sont deux points de l’espace de coordonnées respectives et dans un repère, alors

Le vecteur a pour coordonnées:

Le milieu de [AB] a pour coordonnées :

Si le repère est orthonormé :