Cours maths Terminale S

Primitives

Dans ce module est introduite la notion de primitive d’une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu’une fonction admet une infinité de primitives différant seulement d’une constante.On apprend alors à rédiger la recherche de la seule primitive vérifiant une condition initiale donnée; et les propriétés algébriques des primitives sont démontrées et énoncées dans l’optique de leur utilisation lors des futurs calculs.

 

1/ Primitive(s) : définition

Définition
soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Une fonction F, définie sur I est une primitive de f sur I
si F est dérivable sur I
et si pour tout x élément de I : F’(x) = f (x)

 

Exemple

Soit f définie sur R par f (x)=4

F définie par F(x) = 4x est définie et dérivable sur R et pour tout réel : F’(x) = f (x) donc :
F est une primitive de f sur R
Si on définit maintenant la fonction G sur R par : G(x)=4x+3 alors G est dérivable sur R et pour tout réel : G’(x)=f(x), donc G est aussi une primitive de f sur R .
Remarques :
1) Si une fonction admet une primitive sur un intervalle alors elle en admet une infinité.

2) Les primitives sont en général notées avec des lettres majuscules.

 

2/ Relation entre deux primitives

 

Théorème
soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Si f admet une primitive F sur I
alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme :
x → F (x) + k avec k réel.

Autrement dit
deux primitives d’une même fonction, sur un intervalle, ne diffèrent que d’une constante.

 

Démonstration
Sens direct
Soit G fonction définie sur I par G(x) = F(x)+k avec k réel.
* Par addition, G est dérivable sur I. De plus : G’(x) = F’(x) = f (x) pour tout x de I donc G est une primitive de f sur I.
Réciproque
Soit G une autre primitive de f sur I.
Considérons la fonction définie sur I par h(x) = G(x) – F(x)
* Par soustraction, h est dérivable sur I et pour tout x de I, h’(x) = 0.
I étant un intervalle, h est constante sur I et il existe donc un réel k tel que : pour tout x de I, h(x) = k.
Il existe donc k réel tel que : G(x) = F(x)+k pour tout x de I.

Attention !
Si I n’est pas un intervalle, la dérivée de h peut être nulle sur I sans que h soit constante sur I. Et le théorème énoncé est alors faux.

 

Illustration graphique
Soit Xf la courbe de F.
Toute autre primitive G de f, ne diffère de F que d’une constante k, donc sa courbe est l’image de la courbe de F par la translation de vecteur kj

 

3/ Primitive(s) et condition initiale

Théorème
soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Soit x0 l et y0 R
Si f admet une primitive sur I
alors il existe une unique primitive F0 de f sur I telle que : F0 (x0) = y0

 

Remarques :
1) En fixant les valeurs de x0 et de y0, on dit que l’on impose à la primitive de respecter une « condition initiale ».

Cette dénomination est empruntée au vocabulaire de la physique, où des primitives sont régulièrement calculées pour trouver l’expression de la vitesse ou de l’accélération.

La condition initiale étant alors fixée par exemple par la donnée de la vitesse v0 à un instant t0

2) D’un point de vue graphique, l’unicité se comprend assez facilement :

Fixer une condition initiale, c’est fixer un point par lequel la courbe de la primitive doit passer.
Et par une translation de vecteur colinéaire à j , il ne peut exister qu’une seule courbe image de celle de F passant par M0

 

 

Démonstration du théorème

Existence
Toutes les primitives de f sur I sont de la forme : x → F (x) + k avec k réel.
Soit donc : F0 définie sur I par : F0 (x) = F (x) + k pour tout x de I.
Pour que F0 vérifie la condition initiale, il faut : F (x0) + k = y0,
soit : k = y0 - F(x0)

Par construction, la fonction définie pour tout x de I par : F0(x) = F (x) + y0 - F(x0)
est donc bien une primitive de f sur I telle que : F0(x0) = y0

Unicité
Soit F1 vérifiant les mêmes contraintes.
F1 et F2 étant deux primitives de f sur I, elles ne différent que d’une constante k :

Pour tout x de I : F1(x) - F2(x) = k
Donc, en particulier pour x = x0 : F1(x0) - F2(x0) = k
D’où : k = y0 - y0 = 0 et par conséquent : pour tout x de I : F1(x) = F2(x)

Les fonctions sont donc égales sur I,
et il n’existe donc qu’une seule fonction vérifiant les contraintes imposées.

 

4/ Point sur la rédaction

Prenons le cas simple de la fonction f définie sur R par : f (x) = 3x2
Si la question posée dans un exercice est : « Trouver une primitive de f sur R. »
Alors, il est suffisant de répondre :
F définie sur R par F (x) = x3 est définie et dérivable sur R et pour tout réel : F ' (x) = f (x)
donc F est une primitive de f sur R.
Si la question posée dans un exercice est : « Trouver toutes les primitives de f sur R. » Ou « Trouver l’expression d’une primitive de f sur R. »

 

Il faut
1° chercher une primitive.

2° donner l’expression générale d’une primitive.

3° trouver la primitive qui vérifie la condition initiale.

On complète donc la rédaction donnée à la première question par :
Par conséquent, la fonction G cherchée est de la forme : G(x) = x3 + k avec k réel.

Et G vérifie : G(2) = 0
Donc : 23 + k = 0 Soit : k = -8
La primitive de f qui s’annule en 2 est donc la fonction G définie par : G(x) = x3 - 8

 

Attention !
L’erreur classique des élèves est de vouloir résoudre ce type de question sans au préalable chercher l’expression générale d’une primitive.
Ce qui, sauf si la fonction F trouvée répond à la contrainte, se révèle alors impossible.

 

5/ Continuité sur un intervalle : rappels

Dans la suite du cours, nous allons avoir besoin de parler de la continuité d’une fonction sur un intervalle.
Ce sujet est traité en détail dans le module : « continuité ».
Voici cependant un rappel des résultats qui vont nous être utiles :

Continuité sur un intervalle : ( a e b pouvant être des bornes infinies )
f est continue sur l’intervalle ouvert ] a ; b [

si f est continue en x0 , quel que soit x0 élément de ] a ; b [
Si de plus : a est un nombre fini et alors f est continue sur [ a ; b [
Et si de plus : b est un nombre fini et alors f est continue sur [ a ; b ]

Du point de vue graphique
Si f est continue sur ] a ; b [ alors la courbe de f peut être tracée sur cet intervalle « sans lever le crayon ».

 

Fonctions de référence
* Les fonctions affines, polynômes, trigonométriques et valeur absolue sont continues sur R .

* Les fonctions rationnelles ( quotient de deux polynômes ) sont continues sur chacun des
intervalles où elles sont définies.

* La fonction racine est continue sur [ 0 ; [
Et grâce aux propriétés qui suivent on peut s’appuyer sur la continuité de ces fonctions pour en déduire la continuité d’autres, en effet :

Toute somme, différence ou produit de fonctions continues sur I est continue sur I.

 

est continue sur I, si u et v sont continues sur I et s si v ne s’annule pas sur I.
De plus, si besoin est, on peut ramener ces résultats à quelque chose de plus local, car :
Si f est continue sur un intervalle I
alors f est continue sur tout intervalle inclus dans I.

On ne parle de continuité sur un ensemble que si cet ensemble est un intervalle.

Si f est continue sur l’intervalle I, alors l’image de I par f est un intervalle.

Ce résultat est en particulier indispensable pour parler de continuité d’une fonction composée.

Si f est dérivable sur I alors f est continue sur I.

 

La réciproque, par contre, est fausse.

 

6/ Condition d’existence d’une primitive

Théorème
soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f est continue sur l alors f admet une primitive sur l
Remarques :
1) Pour les raisons vues plus haut, si f admet une primitive alors elle en admet une infinité.

2) Ce théorème sera démontré dans le module traitant du calcul intégral.

3) La condition de continuité est suffisante mais non nécessaire : une fonction peut ne pas être continue sur I et tout de même admettre une primitive sur I.

4) Si f est dérivable sur I alors elle est continue sur I et admet donc des primitives sur I.

 

7/ Propriétés algébrique des primitives

Voici les trois seules règles qui vont nous être utiles dans nos futurs calculs de primitives :

Si les fonctions f et g admettent sur l’intervalle I les primitives F et G, alors :

Règle n°1 :
La fonction ( f + g ) admet pour primitive la fonction ( F + G ) sur I
La primitive de la somme est donc la somme des primitives, mais
attention : ( f x g )’ ≠ f ’ x g ’
La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées et donc :
La primitive d’un produit n’est pas le produit des primitives !

Règle n°2 : quel que soit k réel :
k x f ' = (k x f) '
Règle qui si on l’applique de droite à gauche à F donne : (kF)’ = kF’ = kf d’où :

Règle n°3 :
La fonction kf admet pour primitive la fonction kF sur I.
Et conséquence des règles 1°) et 3° ) : ( f – g ) admet ( F – G ) pour primitive sur I.

 

Ces trois règles évidentes et la maîtrise des formules de dérivation,
suffisent pour calculer n’importe qu’elle primitive !
Il est absolument inutile d’apprendre des tableaux entiers de formules de primitives !

 

8/ Stratégie de calcul d’une primitive et rédaction

Nous allons voir sur deux exemples la stratégie à toujours employer pour calculer une primitive ainsi que la façon de rédiger l’existence d’une primitive.

 

Exemple n° 1 :
Soit f définie sur R par : f (x) = -3x3 + 5x2 + 3

Existence d’une primitive :
f en tant que fonction polynôme est continue sur R donc elle admet une primitive sur R.
Calcul d’une primitive :
f est une somme de fonctions donc nous pouvons calculer séparément leurs primitivespuis les ajouter, d’après une des règles vue précédemment.

* Voici maintenant le raisonnement à tenir pour chaque fonction :

Intéressons nous d’abord à la recherche d’une primitive pour la fonction : x → -3x3
Pour obtenir -3x3 en dérivant, il faut partir, au coefficient près, de la fonction : x → x4

Or : (x4)' = 4x3 et nous voulons (-3) comme coefficient.

Il faut donc ajuster l’égalité pour obtenir (-3) à droite, en multipliant par (-3) et en divisant par 4 :

 

 

Faisons de même pour une primitive de : x → 5x2

(x3)' = 3x2 Donc :
D’où : une primitive de x → 5x2 est :
Pour finir, une primitive évidente de : x → 3 est x → 3x

 

Conclusion : Une primitive sur R de f définie par f (x) = -3x3 +5x2 + 3 est : avec k réel

Et si besoin est, toute primitive de f sur I est de la forme : avec k réel.

Remarque : toutes les étapes détaillées dans ce premier exemple peuvent très bien se faire au brouillon ou de tête.

 

Exemple n° 2 :
Soit f définie sur R par : f (x) = 3x(x2 - 5)3

Existence d’une primitive :
f en tant que fonction polynôme est continue sur R donc elle admet une primitive sur R.
Calcul d’une primitive :

 

Attention !

La dérivée d’un produit n’étant pas le produit des dérivées, il est donc logique que la primitive d’un produit ne soit pas le produit des primitives.
Comme pour l’exemple précédent, nous allons essayer d’imaginer quelle fonction il semble falloir dériver pour obtenir quelque chose qui ressemble à f.
(x2 - 5)3 donne à penser qu’il faut partir de (x2 - 5)4
Testons donc la dérivée de : x → (x2 - 5)4

 

x → (x2 - 5)4 est une fonction composée.

Donc :
Il reste donc à travailler sur le coefficient :

 

Conclusion : Une primitive sur R de f définie par f (x) = 3x (x2 -5)4 est :

et si besoin est, toute primitive de f sur l est de la forme : avec k réel

 

On ne peut bien entendu traiter tous les cas possibles dans la partie leçon mais ce principe de recherche peut être appliqué à tout type de primitive. Le plus difficile étant évidemment parfois de trouver de quelle fonction il faut partir. C’est pour cette raison qu’il faut bien réviser toutes les formules et propriétés concernant la dérivation si l’on veut être à l’aise avec ce chapitre.