Cours maths seconde

Les vecteurs

Il s’agit d’un cours de révisions de programme de collège sur les vecteurs (définition, égalité de vecteurs, somme, translation, relation de Chasles, ….) avec quelques compléments.

 

Définition d'un vecteur :

Si l’on a choisi une unité de longueur dans le plan, un vecteur est caractérisé par :
     ● sa direction
     ● son sens
     ● sa norme

 

Exemple:

La direction de est la droite (AB).
Le sens de est de A vers B.
La norme de est la longueur AB.

 

Egalité de vecteurs :

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.

Exemple :

Les vecteurs et ont le même sens.

= si :

● (AB) // (CD)
● AB = CD

 

Construction de la somme de vecteurs :

Si et sont deux vecteurs donnés, pour construire la somme:

● On trace le vecteur à partir d’une origine O, ce qui nous donne le vecteur .
● En O’, on trace le vecteur , ce qui nous donne le vecteur et la somme des vecteurs et est le vecteur .

 

Exemple:

Construire où , et O sont donnés ci-dessous.

 

Exemple:

Un voyageur part de Paris pour aller à Kiev en faisant une escale à Rome.

 

Règle du parallélogramme n°1.

= équivaut à : « ABDC est un parallélogramme ».

 

Règle du parallélogramme n°2.

Si et alors où R est le point défini de sorte que OMRN est un parallélogramme.

Pour construire la somme des vecteurs et , on construit le quatrième sommet du parallélogramme OMRN.

 

Règle du parallélogramme n°3.

Les points A, B et C étant donnés, si ABCD est un parallélogramme alors :

 

Relation de Chasles.

Les points A et C étant donnés, pour tout point B, on a la relation :

Ce qui est important pour cette relation de Chasles, c’est que le deuxième point du premier vecteur (ici B) soit le même que le premier point du second vecteur.

 

Translation.

Le point M’ est l’image du point M dans la translation de vecteur signifie que .
(ABM’M est donc un parallélogramme.)

L’image d’une droite (d) par une translation est une droite (d’) qui est parallèle à (d).

 

Exemple de deux grues: